Normalna zmienna losowa, odchylenie standardowe

[Karolinaa0]

Waga towarów wysyłanych w kontenerach określonych wymiarów jest normalną zmienną losową o nieznanych parametrach. Wiadomo, że 65% kontenerów wykazuje wagę netto ponad 4,9 ton, a 25% kontenerów - wagę netto mniejszą niż 4,2 tony.
a) Znajdź nieznane parametry (tj. średnią i odchylenie standardowe) rozkładu wagi towarów wysłanych w tych kontenerach.
b) Jaki % kontenerów ma wagę w przedziale od 4 do 5 ton ?

[janusz47]

Waga towarów wysyłanych w kontenerach jest zmienną losową

\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)}\)

a)

Z treści zadania

\(\displaystyle{ \begin{cases} Pr( X > 4,9 t) = 0,65 \\ Pr ( X< 4,2) = 0,25 \end{cases}}\)

Standaryzacja do rozkładu \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} Pr\left (\frac{ X -\mu }{\sigma} > \frac{4,9 - \mu}{\sigma}\right) = 0,65 \\ Pr \left(\frac{ X- \mu}{\sigma}< \frac{ 4,2-\mu}{\sigma} \righht) = 0,25 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 1 - Pr \left(Z \leq \frac{4,9 - \mu}{\sigma} \right) =0,65 \\ Pr \left (Z< \frac{ 4,2 - \mu}{\sigma} \right ) = 0,25 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \phi \left( \frac{4,9 - \mu}{\sigma}\right) \approx \phi(-0,38) \\ \phi \left(\frac{ 4,2-\mu}{\sigma} \right) \approx \phi(-0.67) \end{cases}}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{4,9 -\mu}{\sigma} \approx- 0,38 \\ \frac{4,2-\mu}{\sigma}\approx -0,67\end{cases}}\)

Proszę rozwiązać ten układ, znajdując parametry \(\displaystyle{ \mu, \sigma}\) rozkładu normalnego.

b)

Dla określonego w a) rozkładu normalnego, proszę obliczyć prawdopodobieństwo

\(\displaystyle{ Pr( 4 \leq X \leq 5 ) =...}\) dokonując standaryzacji do rozkładu \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0.1).}\)