Zmienna losowa, rozkład wykładniczy

[Karolinaa0]

Czas podróży studenta między domem a uczelnią jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym i wynosi średnio 1 godz. i 45 min. Student ma w najbliższy wtorek o godz. 10:00 kolokwium, a wyrusza z domu o godz. 8:00. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że zdąży? Poświęcając na dotarcie dokładnie 1 godz.i 45 min student będzie częściej się spóźniał, czy czekał na zajęcia?

I mam pytanie czy odpowiedź to będzie:
\(\displaystyle{ P(x \le 2)=1 - e^{ \frac{8}{7} }}\)
oraz
skoro \(\displaystyle{ EX}\) to właśnie 1h 45 min. to teoretycznie tyle samo się będzie spóźniał co czekał?

[janusz47]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ T}\) czasu podróży studenta między domem a uczelnią ma rozkład wykładniczy:

\(\displaystyle{ T \sim \mathcal{W}(\lambda =...)}\)

Funkcja gęstości tej zmiennej losowej ma postać

\(\displaystyle{ f(t) = ....}\)

\(\displaystyle{ Pr(X\leq 2h ) = \int_{0}^{2} f(t)dt =...}\)

[Karolinaa0]

Ok, dziękuję, a mam pytanie, jak znaleźć ten parametr?

-- 29 maja 2019, o 23:42 --

-- 29 maja 2019, o 23:44 --Mam pytanie czy to należy obliczyć z wartości oczekiwanej? Mogłabym prosić o jakieś wskazówki? Z góry bardzo dziękuję.

[Benny01]

\(\displaystyle{ f(x)= \lambda e^{-\lambda x}}\)

\(\displaystyle{ EX= \int_{0}^{ \infty } x\lambda e^{-\lambda x} \mbox{d}x = \frac{-x}{e^{\lambda x}} - \frac{1}{\lambda e^{\lambda x}}|^{ \infty }_{0}=\frac{1}{\lambda}=\frac{7}{4} \Rightarrow \lambda=\frac{4}{7}}\)

[Karolinaa0]

Ok, dziękuję, a mam pytanie jaka będzie odpowiedź? Że skoro EX to 1h 45 min, to tyle samo się będzie spóźniał co czekał?-- 1 cze 2019, o 01:33 --Czy powinno się w celu uzyskania odpowiedzi obliczyć:
\(\displaystyle{ P(X \le 4/7)=}\)
\(\displaystyle{ P(X>4/7)=}\) ?
Jeśli tak, to jak to obliczyć? Z góry b.dziękuję.

[Karolinaa0]

Mam tylko pytanie czy to zadanie jest zrobione poprawnie? Z góry dziękuję za informację.

Czas podróży studenta między domem a uczelnią jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym i wynosi średnio 1 godz. i 45 min. Student ma w najbliższy wtorek o godz. 10:00 kolokwium, a wyrusza z domu o godz. 8:00. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że zdąży? Poświęcając na dotarcie dokładnie 1 godz.i 45 min student będzie częściej się spóźniał, czy czekał na zajęcia?

\(\displaystyle{ P(x \le 2)=1 - e^{ \frac{8}{7} }}\)

\(\displaystyle{ P(X < 7/4)= 1 - e ^{-1} = 0,63}\)

Zatem student będzie częściej czekał na zajęcia

[janusz47]

\(\displaystyle{ 1,45 h = \frac{7}{4}h.}\)

\(\displaystyle{ \lambda = \frac{1}{b} = \frac{1}{\frac{7}{4}}= \frac{4}{7}\frac{1}{h}}\)


\(\displaystyle{ F(2) = Pr \left(\{ X\leq 2\}\right) = \int_{0}^{2}\frac{4}{7}e^{-\frac{4}{7}t}dt = \frac{4}{7}\cdot \frac{7}{4}\left[- e^{-\frac{4}{7}}\right] _{0}^{2} = 1 - e^{-\frac{8}{7}} \approx \\ \approx 0,68109}\)


\(\displaystyle{ F\left(\frac{7}{2}\right) = Pr \left(\{ X\leq \frac{7}{2}\}\right ) = \int_{0}^{\frac{7}{2}}\frac{4}{7}e^{-\frac{4}{7}t}dt = \frac{4}{7}\cdot \frac{7}{4}\left[- e^{-\frac{4}{7}}\right] _{0}^{\frac{7}{4}} = 1 - e^{- 1} \approx 0,63212}\)

[Karolinaa0]

Czy to oznacza, że odpowiedź którą ja napisałam jest źle?

[janusz47]

Pani wyniki są dobre i wniosek prawidłowy, bo

\(\displaystyle{ F(2) \approx 0,68 > F\left( \frac{7}{4}\right) \approx 0,63.}\)

To ja popełniłem pomyłkę na \(\displaystyle{ \lambda}\).