Rozkład normalny, szukanie prawdopodobieństwa

[Janek9003]

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{i}}\) \(\displaystyle{ (i=1,...,200)}\) są niezależne i mają rozkłady \(\displaystyle{ P(X_{i}=j)=\frac{1}{4}}\) \(\displaystyle{ (j=1,2,3,4)}\)
a) Znajdź prawdopodobieństwo że \(\displaystyle{ Y_{200}=\sum_{\substack{i=1}}^{\substack{200}}x_{i}}\) przyjmuje wartość mniejszą od 550.
b) Znajdź prawdopodobieństwo że \(\displaystyle{ \overline{Y}=\frac{\sum_{\substack{i=1}}^{\substack{200}}x_{i}}{200}}\) jest większa od 3.

Metody niby znam ale coś tutaj nie wychodzi.

[janusz47]

Jakie metody niby znasz i co Ci tu nie wychodzi?

[Janek9003]

Jakie metody niby znasz i co Ci tu nie wychodzi?

Z rozkładu w poleceniu trzeba wyznaczyć \(\displaystyle{ EX}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{VarX}}\). Potem trzeba jakoś ten rozkład normalny wyznaczyć. Do a) jest wzór \(\displaystyle{ N(n\times{EX},\sqrt{n}\times{\sqrt{VarX}})}\). Do b) jest wzór \(\displaystyle{ N(EX,\frac{\sqrt{VarX}}{\sqrt{n}})}\). Potem już normalnie jak w rozkładzie normalnym.
W a) wychodzi \(\displaystyle{ \phi(\sqrt{10})}\), wydaje mi się podejrzane ale da się odczytać z tablic.
w b) wychodzi \(\displaystyle{ 1-\phi(2\sqrt{10})}\) i tego już w tablicach nie ma.

[janusz47]

To rozpisz!

[Janek9003]

Najpierw pierwszy rozkład.
\(\displaystyle{ EX = \frac{5}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{VarX}=\frac{\sqrt{5}}{2}}\)
Liczę rozkład normalny dla a).
\(\displaystyle{ N \left( 200 \cdot \frac{5}{2};\sqrt{200} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \right) =N \left( 500,5\sqrt{10} \right)}\)
Liczę prawdopodobieństwo
\(\displaystyle{ P \left( Y<550 \right) =F \left( 550 \right) =\phi \left( \frac{550-500}{5\sqrt{10}} \right) =\phi \left( \sqrt{10} \right) =0,999211}\)
Nie wiem czy dobrze liczę, dlatego się pytam. Aczkolwiek domyślam się że chcesz żebym sam się domyślił, co doceniam, ale jednak jakiegoś naprowadzenia potrzebuję.

Przykład b).
\(\displaystyle{ N \left( \frac{5}{2};\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{200}} \right) =N \left( \frac{5}{2};\frac{\sqrt{10}}{40} \right)}\)
Liczę prawdopodobieństwo
\(\displaystyle{ P \left( Y>3 \right) =1-F \left( 3 \right) =1-\phi \left( \frac{3-\frac{5}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{40}} \right) =1-\phi \left( 2\sqrt{10} \right)}\)
\(\displaystyle{ \phi \left( 2\sqrt{10}\right)}\) nie ma w tablicach więc nic z tym nie zrobię. No i nie chce drążyć jeśli wynik jest po prostu zły.

[janusz47]

Zadanie 1

Wartość średnią \(\displaystyle{ E(X_{i}) = \frac{5}{2}}\) i odchylenie standardowe \(\displaystyle{ \sigma_{i}= \frac{\sqrt{5}}{2}}\) każdej ze zmiennych losowych \(\displaystyle{ X_{i}, \ \ i = 1,2,...,200}\) o rozkładzie czteropunktowym obliczyłeś poprawnie.

Suma niezależnych zmiennych losowych \(\displaystyle{ S_{200} = X_{1}+X_{2}+...X_{200}}\) ma rozkład normalny z wartością średnią \(\displaystyle{ E(S_{200}) = 200\cdot \frac{5}{2} = 500}\) i odchyleniem standardowym \(\displaystyle{ \sigma_{200}= \sqrt{200\cdot \frac{5}{4}} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}.}\)


\(\displaystyle{ Pr(S_{200}<550) = Pr\left( Z < \frac{550 -500}{5\sqrt{10}}\right)= Pr( Z < 3,1623)= \phi(3,1623) \approx\\ \approx 0,99923.}\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

> P = pnorm(3.1623)
> P
[1] 0.9992174

Zadanie rozwiązałeś bezbłędnie.

Zadanie 2

Średnia z dużej liczebności próby prostej ma rozkład bliski rozkładowi normalnemu

\(\displaystyle{ \overline{X}_{n} \sim \mathcal{N}\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).}\)

W naszym przypadku

\(\displaystyle{ \overline{X}_{200}\sim \mathcal{N}\left( \frac{5}{2}, \frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{200}}\right)=\mathcal{N}\left( \frac{5}{2},\frac{\sqrt{10}}{40}\right).}\)

Stąd

\(\displaystyle{ Pr(\overline{X}_{200}>3) = Pr\left( U > \frac{3- \frac{5}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{40}} \right)= Pr \left( U > \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{40}}\right) = Pr\left( U > \frac{20}{\sqrt{10}}\right) = \\ = 1 - Pr \left(U\leq 2\sqrt{10} \right) \approx 0.}\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

 P = 1- pnorm(2*sqrt(10))
> P
[1] 1.269814e-10

Zadanie drugie też rozwiązywałeś poprawnie. Zabrakło niewiele do jego bezbłędnego rozwiązania.

Wartość dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego

\(\displaystyle{ \phi(2\sqrt{10})\approx \phi(6,3246) \approx 1.}\)

[Janek9003]

Ok czyli nie jest ze mną tak źle jak myślałem, ale jak mam wyznaczyć ten \(\displaystyle{ \phi(2\sqrt{10})}\)? Tej wartości w tablicy nie ma. Kończy się na 4,9.

[janusz47]

Dlatego przyjmuje się powyżej tego argumentu wartość dystrybuanty rozkładu \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\) równą \(\displaystyle{ 1.}\)

[Janek9003]

Dlatego przyjmuje się powyżej tego argumentu wartość dystrybuanty rozkładu \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\) równą \(\displaystyle{ 1.}\)

Tzn. że jeśli "wyjdę poza skalę" to przyjmuję jako 1? Czyli faktycznie wynik wyjdzie zero, bo \(\displaystyle{ 1-\phi}\).