Rzucamy kostką do momentu uzyskania dwójki oraz trójki (łącznie, niekoniecznie pod rząd). Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucimy więcej niż piętnaście razy?
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Prawdopodobieństwo z zadania równe jest temu, że podczas pierwszych piętnastu rzutów będą wypadały dwójki w dowolnej liczbie, ale nie wypadnie ani razu trójka lub odwrotnie. Prawdopodobieństwo, że nie wypadnie, ani razu dwójka, ani trójka jest równe \(\displaystyle{ \left( \frac{2}{3} \right)^{15}}\). Prawdopodobieństwo, że wypadnie jedna dwójka i ani razu trójka wynosi \(\displaystyle{ {15 \choose 1} \frac{1}{6}\left( \frac{2}{3} \right)^{14}}\). Prawdopodobieństwo, że wypadną dwie dwójki i ani razu trójka wynosi \(\displaystyle{ {15 \choose 2} (\frac{1}{6})^2\left( \frac{2}{3} \right)^{13}}\) i tak dalej. Analogiczne prawdopodobieństwa dla wyrzuconych trójek przy warunku, że nie wypadnie ani razu dwójka są takie same, zatem prawdopodobieństwo o które chodzi w zadaniu wynosi:
\(\displaystyle{ \left( \frac{2}{3} \right)^{15}+2 \left( {15 \choose 1} \frac{1}{6}\left( \frac{2}{3} \right)^{14}+{15 \choose 2} \left( \frac{1}{6} \right) ^2\left( \frac{2}{3} \right)^{13}+...+ {15 \choose 15}\left( \frac{1}{6} \right)^{15}\right)}\)
Czy tak jest dobrze?
Rzucamy kostką
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Rzucamy kostką
Ostatnio zmieniony 12 maja 2019, o 20:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Re: Rzucamy kostką
A nie wygodniej po prostu powiedzieć, że prawdopodobieństwo tego, że wypadnie ani razu trójka jest równe \(\displaystyle{ \left(\frac{5}{6}\right)^{15}}\)? Wtedy wynik to będzie \(\displaystyle{ 2\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{15}-\left(\frac{2}{3}\right)^{15}}\) (musimy odjąć prawdopodobieństwo tego, że nie wypadnie ani dwójka, ani trójka, bo policzyliśmy je dwukrotnie - zasada włączeń i wyłączeń tak naprawdę).
Za pomocą wzoru dwumianowego Newtona łatwo się przekonasz, że Twój wynik jest taki sam jak to co ja napisałem.
Za pomocą wzoru dwumianowego Newtona łatwo się przekonasz, że Twój wynik jest taki sam jak to co ja napisałem.