Prawdopodobieństwo, że moneta znajdzie się wewnątrz koła

[norbi1952]

Koło o promieniu \(\displaystyle{ 8\, cm}\) zostało podzielone na dwie części okręgiem o tym samym środku i promieniu \(\displaystyle{ 5\, cm}\). Na powierzchnię koła spada moneta o średnicy \(\displaystyle{ 1\, cm}\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że cała moneta znajdzie się wewnątrz mniejszego koła, nie przecinając okręgu dzielącego koło na części?

Trochę dezorientuje mnie to, że moneta nie może przeciąć linii okręgu dzielącego koło na części. Gdyby nie to, przyjąłbym za \(\displaystyle{ \left| A\right|}\) pole monety, a za \(\displaystyle{ \left| \Omega \right|}\) pole mniejszego koła. Jak to wyliczyć w następującym przypadku?

[a4karo]

To, czy moneta znajduje sie wewnątrz czy jest styczna do mniejszego okręgu, mam małe znaczenie dla rozwiązania: szansa na styczność wynosi zero.

Zadanie natomiast dopuszcza różne interpretacje.

Na początek: co oznacza założenie "Na powierzchnię koła spada moneta o średnicy 1 cm"
A) całą moneta lezy wewnątrz kołą
B) środek monety leży wewnątrz kołą
C) moneta ma część współną z wnętrzem koła.

Kolejne założenia odnośnie tego jak liczyć prawdopodobieństwo:
1) rozkład położenia środka monety jest jednostajny
2) rozkład odległości środka monety od środka koła jest jednostajny (w końcu mamy symetrię obrotową całego doświadczenia

Przy każdym z tych założeń zdarzenie sprzyjające jest wtedy, gdy środek monety leży w kole o promieniu 4.

A zatem prawdopodobieństwa sukcesu są w poszczególnych modelach takie:

A1: \(\displaystyle{ \frac{16}{49}}\)

B1: \(\displaystyle{ \frac{16}{64}}\)

C1: \(\displaystyle{ \frac{16}{81}}\)

A2: \(\displaystyle{ \frac{4}{7}}\)

B2: \(\displaystyle{ \frac{4}{8}}\)

C2: \(\displaystyle{ \frac{4}{9}}\)

W praktyce pewnie rzucamy monetę tak, że położenie jej środka ma rozkład normalny i wtedy dostaniemy jeszcze inne wyniki.