W kolejce do kasy kinowej

[Debet]

W kolejce do kasy kinowej ustawiło się w sposób losowy 20 osób, wśród których jest 5 uczniów, 7
studentów, a reszta osób to emeryci. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwszą osobą przy kasie
jest uczeń, a grupa studentów jest podzielona na dwie podgrupy: 3- i 4-osobową, składające się z
osób stojących jedna za drugą, przy czym pomiędzy tymi grupami nie ma w kolejce żadnego ucznia,
natomiast stoi w całości grupa emerytów (jedna osoba za drugą) ? Rozważ przypadek osób rozróżnialnych i nierozróżnialnych.

Na początku ustalmy wszystkie możliwe ustawienia:
a) rozróżnialni: \(\displaystyle{ 20!,}\)
b) nierozróżnialni: \(\displaystyle{ {20 \choose 5}\cdot {15 \choose 7}\cdot {8\choose 8}.}\)
Dalej
a) uczeń na pierwszym miejscu: \(\displaystyle{ 5,}\)
podgrupy studentów: \(\displaystyle{ {7 \choose 3}\cdot {4 \choose 4},}\)
ustawienia podgrup wzgl. emerytów: \(\displaystyle{ 2,}\)
emeryci: \(\displaystyle{ 8!}\),
wszystkie możliwości rozmieszczenia podgrup studentów i emerytów: \(\displaystyle{ 5}\), tzn. 0 uczniów po pierwszym uczniu, 1 uczeń, 2, 3, 4,
wybór uczniów w odpowiednich przypadkach powyżej: \(\displaystyle{ {4 \choose 4} \cdot {4 \choose 3} \cdot {4 \choose 2} \cdot {4 \choose 1} \cdot {4 \choose 0}}\)
Ostatecznie prawdopodobieństwo wynosi: \(\displaystyle{ \frac{5\cdot {7 \choose 3}\cdot {4 \choose 4}\cdot 2 \cdot 8! \cdot 5 {4 \choose 4} \cdot {4 \choose 3} \cdot {4 \choose 2} \cdot {4 \choose 1} \cdot {4 \choose 0}}{20!}.}\)
b) uczeń na pierwszym miejscu: \(\displaystyle{ 5}\),
podgrupy studentów: \(\displaystyle{ 1}\),
ustawienia podgrup wzgl. emerytów: \(\displaystyle{ 2,}\)
emeryci: \(\displaystyle{ 1}\),
możliwości rozmieszczenia podgrup studentów i emerytów: \(\displaystyle{ 5}\).
Prawdopodobieństwo: \(\displaystyle{ \frac{50}{{20 \choose 5}\cdot {15 \choose 7}\cdot {8\choose 8}}.}\)
Mają te rozwiązania jakiś sens?

[kerajs]

Na początku ustalmy wszystkie możliwe ustawienia:
a) rozróżnialni: \(\displaystyle{ 20!,}\)
b) nierozróżnialni: \(\displaystyle{ {20 \choose 5}\cdot {15 \choose 7}\cdot {8\choose 8}.}\)

OK. b) można także liczyć tak: \(\displaystyle{ \frac{20!}{5!7!8!}}\)

a) uczeń na pierwszym miejscu: \(\displaystyle{ 5,}\)
podgrupy studentów: \(\displaystyle{ {7 \choose 3}\cdot {4 \choose 4},}\)
ustawienia podgrup wzgl. emerytów: \(\displaystyle{ 2,}\)
emeryci: \(\displaystyle{ 8!}\),
wszystkie możliwości rozmieszczenia podgrup studentów i emerytów: \(\displaystyle{ 5}\), tzn. 0 uczniów po pierwszym uczniu, 1 uczeń, 2, 3, 4,
wybór uczniów w odpowiednich przypadkach powyżej: \(\displaystyle{ {4 \choose 4} \cdot {4 \choose 3} \cdot {4 \choose 2} \cdot {4 \choose 1} \cdot {4 \choose 0}}\)
Ostatecznie prawdopodobieństwo wynosi: \(\displaystyle{ \frac{5\cdot {7 \choose 3}\cdot {4 \choose 4}\cdot 2 \cdot 8! \cdot 5 {4 \choose 4} \cdot {4 \choose 3} \cdot {4 \choose 2} \cdot {4 \choose 1} \cdot {4 \choose 0}}{20!}.}\)

Moim zdaniem nie uwzględniasz tu ustawień studentów. Ponadto zdarzenia z różną ilością uczniów na początku kolejki należy dodawać a nie mnożyć.
Liczyłbym tak: permutację emerytów wstawiam na możliwe dwa miejsca w permutacji studentów, a cały ten tłumek wciskam na jedno z pięciu dostępnych miejsc: cztery miedzy i jedno za permutującymi uczniami.
\(\displaystyle{ \left| a\right| =8! \cdot 2 \cdot 7! \cdot 5 \cdot 5!}\)

b) uczeń na pierwszym miejscu: \(\displaystyle{ 5}\),
podgrupy studentów: \(\displaystyle{ 1}\),
ustawienia podgrup wzgl. emerytów: \(\displaystyle{ 2,}\)
emeryci: \(\displaystyle{ 1}\),
możliwości rozmieszczenia podgrup studentów i emerytów: \(\displaystyle{ 5}\).
Prawdopodobieństwo: \(\displaystyle{ \frac{50}{{20 \choose 5}\cdot {15 \choose 7}\cdot {8\choose 8}}.}\)

A tu niepotrzebnie wyróżniasz ucznia przy kasie.
\(\displaystyle{ \left| b\right| =10}\)