Niezależność sumy i ilorazu niezależnych zmiennych losowych.

[Leoneq]

Treść zadania: Mamy dwie niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) z rozkładu wykładniczego z parametrem \(\displaystyle{ 1}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ X+Y}\) i \(\displaystyle{ \frac{X}{Y}}\) są niezależne.

Czyli \(\displaystyle{ X,Y \sim Exp \left( 1 \right)}\) więc gęstości obu będą dane wzorem \(\displaystyle{ e^{-x}}\)

Dystrybuanta \(\displaystyle{ \frac{X}{Y}}\) zgodnie z następującym wzorem:

\(\displaystyle{ P \left( \frac{X}{Y} \le t \right) = \int_{- \infty }^{t} \int_{\mathbb{R}}^{} f_{1} \left( yx \right) f_{2} \left( y \right) y \ dx \ dy}\)

wyjdzie
\(\displaystyle{ P \left( \frac{X}{Y} \le t \right) = \int_{0}^{t} \int_{0}^{ \infty } e^{-yx} e^{-y} y \ dx \ dy= e^{-t} \left( t^2 + 2t +2 \right) - 2}\)

I następnie dystrybuanta \(\displaystyle{ X+Y}\) zgodnie ze wzorem:

\(\displaystyle{ P \left( X+Y \le t \right) = \int_{- \infty }^{t} \int_{\mathbb{R}}^{}f_1 \left( x-y \right) f_2 \left( y \right) \ dy \ dx}\)
będzie równa ( i tu natrafiam na problem)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{t} \int_{0}^{ \infty }e^{- \left( x-y \right) }e^{-y}dy \ dx = \int_{0}^{t} \int_{0}^{ \infty }e^{-x} \ dy \ dx}\)

Więc wychodzi mi nieskończoność, a nie powinna, co robię źle?
Dziękuje za wszystkie odpowiedzi

[Premislav]

Czyli \(\displaystyle{ X,Y \sim Exp(1)}\) więc gęstości obu będą dane wzorem \(\displaystyle{ e^{-x}}\)

Niezupełnie. Raczej \(\displaystyle{ e^{-x}1{\hskip -2,5pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x)}\).
Zatem ten splot też będzie wyglądał nieco inaczej:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X+Y\le t)= \begin{cases}\int_{0}^{t} \int_{0}^{t-x}e^{-(x-y)}e^{-y}\,\dd y\,\dd x \text{ dla } t>0\\ 0 \text { dla }t\le 0\end{cases}}\)-- 27 kwi 2019, o 10:33 --Oczywiście \(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \frac X Y\le t\right)}\) też niepoprawnie wyznaczyłeś, gdybyś wziął \(\displaystyle{ t\rightarrow +\infty}\), to byś zię zorientował, że Twoja funkcja:

\(\displaystyle{ e^{-t}(t^2 + 2t +2) - 2}\)

nie spełnia definicji dystrybuanty.