rzucanie dwukrotnie kostka

[ibialy2]

Rzucamy dwukrotnie kostką. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że iloczyn wyrzuconych oczek:
a)jest większy od 10
b)jest większy od 10, jeśli wiadomo, że w pierwszym rzucie wypadły 3 oczka,
c)jest większy od 10, jeśli wiadomo, że w pierwszym rzucie wypadły 4 oczka.

Problem z tym zadaniem mam taki, że na początku licząc omegę wyszło mi że omega jest równa 18, a w odpowiedzi jest że omega=36.
Nie ogarniam tego, bo przecież jeżeli w pierwszym rzucie wypadnie 1 i w drugim 2 to iloczyn wynosi 2 i to samo będzie jeżeli w pierwszym rzucie wypadnie 2 i w drugim 1, wtedy iloczyn wyrzuconych oczek też wyniesie 2. Wychodzi na to, że odpowiedzi uwzględniają powtarzanie się wyników.

Mógłby mi to ktoś wytłumaczyć?

[Belf]

Za pierwszym razem możesz wyrzucić jedną z \(\displaystyle{ 6}\) cyfr , a za drugim również jedną z sześciu cyfr, a zatem zbiór zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu wynosi: \(\displaystyle{ 6 \cdot 6 = 36}\).
Przy ustalaniu ilości zdarzeń elementarnych , nie obchodzi nas iloczyn , a tylko liczba możliwych
wyników ( ilość możliwych par cyfr , jakie uzyskamy ).

[janusz47]

Otrzymujemy dwie różne pary uporządkowane \(\displaystyle{ (1, 2), (2,1).}\)

Zdarzenie losowe polega na dwukrotnym rzucie kolejno kostką do gry

\(\displaystyle{ I \ \ rzut - 1 , II \ \ rzut- 2 -\ \ zdarzenie \ \ elementarne \ \ \omega_{1}=(1,2),}\)

\(\displaystyle{ I \ \ rzut -2, II \ \ rzut -1 -\ \ zdarzenie \ \ elementarne \ \ \omega_{2}= (2,1).}\)

Zdarzenia \(\displaystyle{ \omega_{1}, \ \ \omega_{2}}\) są różne.

Zbiór wszystkich możliwych wyników dwukrotnego rzutu sześcienną kostką.

\(\displaystyle{ \Omega = \{(\omega_{i}, \omega_{j}): \omega_{i}, \omega_{j}\in\{1,2,3,4,5,6\}\}}\)

\(\displaystyle{ |\Omega| = W_{6}^{2}= 6^2}\) - tyle jest dwuelementowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru sześcioelementowego.

\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie "iloczyn wyrzuconych oczek jest większy od dziesięciu".

\(\displaystyle{ A =\{(\omega_{k}, \omega_{l}): \omega_{k}, \omega_{l} \in \{1,2,3,4,5,6\}\} \wedge \omega_{k} \cdot \omega_{l} > 10 \},}\)

\(\displaystyle{ A = \{(2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 3), (5, 4), (5, 5),(5, 6), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) \}.}\)

\(\displaystyle{ |A|= 17.}\)

Wszystkie wyniki dwukrotnego rzutu kostką są jednakowo możliwe, możemy więc zastosować klasyczną definicję prawdopodobieństwa.

\(\displaystyle{ Pr(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}}\)

\(\displaystyle{ Pr(A) = \frac{17}{36}.}\)

Rzucając dwukrotnie sześcienną kostką, możemy oczekiwać, że w ponad \(\displaystyle{ 47\%}\) ogólnej liczby rzutów, otrzymamy parę oczek, których iloczyn będzie większy od dziesięciu.

Zbuduj modele warunkowych doświadczeń losowych w \(\displaystyle{ b), c).}\)

[ibialy2]

a pomożecie w b i c, bo mi wychodzi że zdarzenie B jest równe 3 bo w pierwszym rzucie wypadły 3 oczka a w drugim wypadły 3,5 albo 6 oczek. Ale to nie zgadza się z odpowiedzią w książce

[janusz47]

b) Zdarzenie

\(\displaystyle{ B}\)- " w pierwszym rzucie wypadły trzy oczka "

\(\displaystyle{ B = \{(\omega_{1}, \omega_{2}):\omega_{2}\in \{1,2,3,4,5,6\} \wedge \omega_{1}\in\{3\} \}.}\)

\(\displaystyle{ B = \{(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5), (3,6)\}.}\)

\(\displaystyle{ |B|= 6}\)

Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe

\(\displaystyle{ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.}\)

\(\displaystyle{ P(A|B) = \frac{|A \cap B|}{|B|}}\)

\(\displaystyle{ P(A|B) =\frac{ |\{(3,4), (3,5), (3,6)\}|}{|\{(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5), (3,6)\}|}}\)

\(\displaystyle{ P(A|B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.}\)

W wyniku dwukrotnego rzutu sześcienną kostką należy oczekiwać, że w \(\displaystyle{ 50\%}\) ogólnej liczby rzutów, jeśli w pierwszym rzucie otrzymano trzy oczka, to iloczyn oczek w dwóch rzutach będzie większy od dziesięciu.

c) - podobnie