udowodnić równość, centralne tw.graniczne

[poozy]

Udowodnij równość:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sum_{k=0}^{n} e^{-n} \frac{ n^{k} }{k!}= \frac{1}{2}}\)
Wskazówka: Zastosuj centralne twierdzenie graniczne dla niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie Poissona z parametrem 1.

[Tmkk]

Wskazówka jest niemalże rozwiązaniem tego zadania. Gdzie pojawia się problem?

[poozy]

Nie rozumiem jak jest niemalże rozwiązaniem zadania, co z tego, że użyje CTG i moja suma zmiennych bedzie zbiegała do rozkładu normalnego(0,1)?

[Tmkk]

To jeszcze jedna wskazówka.
Zobacz, że jeśli \(\displaystyle{ X \sim N\left(0,1\right)}\), to \(\displaystyle{ P\left(X \le 0\right) = \frac{1}{2}}\)

[poozy]

szczerze to dalej nie wiem jak to zrobić, chyba po prostu mam problem ze zrozumieniem pojęć bo nie potrafie ogarnąc co jest tutaj czym, no nic chyba jutro na kolosie bedzie klops

-- 7 kwi 2019, o 21:49 --

mam \(\displaystyle{ X_i \sim Poiss(1)}\) i mam \(\displaystyle{ X= \lim_{ n\to \infty } \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i) -n}{ \sqrt{n} }, X \sim N(0,1)}\) i wiem, że \(\displaystyle{ P(X=k)}\) w rozkładzie poissona(1) to \(\displaystyle{ e^{-1}\frac{1^k}{k!}}\) ale nie mam pojęcia co z tym zrobić, żeby jakoś uzyskać sumę z polecenia...-- 7 kwi 2019, o 23:38 --ktoś pomoze? musze to umiec jutro o 8 rano

[Tmkk]

Zauważ, że \(\displaystyle{ S_n = \sum_{i=i}^n X_i}\) ma rozkład Poisona z parametrem \(\displaystyle{ n}\).

Co więcej (dystrybuanta)

\(\displaystyle{ P(S_n \le n) = \sum_{k=0}^n P(S_n = k) = \sum_{k=0}^n e^{-n} \frac{ n^{k} }{k!}}\)

Dasz radę sam dokończyć?

[poozy]

Szczerze to nie wiedziałem, że suma zmiennych losowych z rozkładu P(1) będzie miała rozkład P(n). Dzięki za pomoc już zabieram sie do kolejnej próby.-- 7 kwi 2019, o 23:55 --\(\displaystyle{ P(S_n \le n) = P(S_n-n \le 0) =P( \frac{s_n-n}{ \sqrt{n} } \le 0 )}\) a jako, że po wykonanych operacjach możemy skorzystać korzystamy z CTG to wiemy, że \(\displaystyle{ P( \frac{s_n-n}{ \sqrt{n} } \le 0 )= \frac{1}{2}}\) jako, że jest to r.normalny. Czy to poprawne rozumowanie (w końcu)?

[Tmkk]

Tak, tylko nie równa się, a dąży

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sum_{k=0}^{n} e^{-n} \frac{ n^{k} }{k!} = \lim_{ n\to \infty } P(\frac{S_n-n}{ \sqrt{n} } \le 0) = P(X \le 0) = \frac{1}{2}}\)

[poozy]

Dzięki wielkie!!! A ten fakt, że suma n zmiennych losowych o rozkładzie P(1) to P(n) to skąd właściwie jest oczywisty?

[Tmkk]

Pokaż sobie (licząc splot dla sum), że jeśli \(\displaystyle{ X \sim \hbox{Poiss}(a)}\) oraz \(\displaystyle{ Y \sim \hbox{Poiss}(b)}\), to \(\displaystyle{ X + Y\sim \hbox{Poiss}(a+b)}\).

@down

dokładnie

[poozy]

okej, a czy ta zależność jest też zachowana dla rozkładu wykładniczego? (wydaje mi sie że nie bo z tego co wiem to minumum zmiennych o rozkladach Exp(a) i Exp(b) ma rozkład Exp(a+b)) pytam, ponieważ w drugiej grupie było podobne zadanie tylko zamiast sumy pewna całka i we wskazówce mowa o rozkladzie wykladniczym,

jednak nie było pytania bo to zadanie z tego samego kolokwium na którym trzeba było udowodnić, że zachodzi taka zależność a jak już odpowiedziałeś mi w innym temacie nie zachodzi więc to zadanie również będzie błędem prowadzącego