Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=X+Y}\), jeśli zmienne \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) mają rozkład jednostajny na przedziałach odpowiednio: \(\displaystyle{ \left[ 0,2\right]}\) i \(\displaystyle{ \left[ 0,3\right]}\).
Wyznaczyłam dystrybuanty zmiennych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) i próbuję skorzystać ze wzoru na splot, jednak nie wiem, jak wyznaczyć przedziały całkowania (w których obie gęstości są niezerowe).
Dystrybuanta sumy zmiennych losowych
-
malwinka1058
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Dystrybuanta sumy zmiennych losowych
Brakuje jeszcze założenia o niezależności zmiennych losowych \(\displaystyle{ X, \ Y}\).
Gdy są one niezależne, to wektor losowy \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład jednostajny na prostokącie \(\displaystyle{ [0,2]\times[0,3]}\). Mamy więc
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X+Y\le t)=\frac 1 6 \int_{0}^{2} \int_{0}^{3}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}(x+y\le t) \,\dd y\,\dd x=\\= \begin{cases} 0 \text{ dla } t\le 0 \\ \frac 1 6 \int_{0}^{\min(2,t)} \int_{0}^{\min(t-x,3)}\,\dd y\,\dd x \text{ dla }t>0 \end{cases}=\\= \begin{cases} 0 \text{ dla } t\le 0 \\ \frac 1 6 \int_{0}^{\min(2,t)}\min(t-x, 3)\,\dd x \text{ dla }t>0 \end{cases}}\)
Teraz dobrze będzie jeszcze ten drugi przypadek sobie rozbić na przedziały (względem \(\displaystyle{ t}\) oczywiście)
\(\displaystyle{ (0,2], \ (2, 3], \ (3,5], (5,+\infty)}\).
Dla \(\displaystyle{ t\in (0,2]}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac 1 6 \int_{0}^{\min(2,t)}\min(t-x, 3)\,\dd x=\frac 1 6 \int_{0}^{t}(t-x)\,\dd x}\)
Dla \(\displaystyle{ t\in(2,3]}\) jest
\(\displaystyle{ \frac 1 6 \int_{0}^{\min(2,t)}\min(t-x, 3)\,\dd x=\frac 1 6 \int_{0}^{2}(t-x)\,\dd x}\)
Dla \(\displaystyle{ t\in (3,5]}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac 1 6 \int_{0}^{\min(2,t)}\min(t-x, 3)\,\dd x=\frac 1 6 \int_{0}^{t-3}(t-x)\,\dd x+\frac 1 6 \int_{t-3}^{2}3\,\dd x}\)
Dla \(\displaystyle{ t\in(5,+\infty)}\) dostajemy
\(\displaystyle{ \frac 1 6 \int_{0}^{\min(2,t)}\min(t-x, 3)\,\dd x=\frac 1 6 \int_{0}^{2}3\,\dd x= 1}\)
Całki proszę sobie przeliczyć, nie pomogę w tym. Aha, nie interesuje mnie to, że zazwyczaj minimum zapisuje się w nawiasach klamrowych, tak jak napisałem mi jest wygodniej, a to tylko notacja, więc można ją sobie dowolnie zmieniać, byle konsekwentnie.
Gdy są one niezależne, to wektor losowy \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład jednostajny na prostokącie \(\displaystyle{ [0,2]\times[0,3]}\). Mamy więc
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X+Y\le t)=\frac 1 6 \int_{0}^{2} \int_{0}^{3}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}(x+y\le t) \,\dd y\,\dd x=\\= \begin{cases} 0 \text{ dla } t\le 0 \\ \frac 1 6 \int_{0}^{\min(2,t)} \int_{0}^{\min(t-x,3)}\,\dd y\,\dd x \text{ dla }t>0 \end{cases}=\\= \begin{cases} 0 \text{ dla } t\le 0 \\ \frac 1 6 \int_{0}^{\min(2,t)}\min(t-x, 3)\,\dd x \text{ dla }t>0 \end{cases}}\)
Teraz dobrze będzie jeszcze ten drugi przypadek sobie rozbić na przedziały (względem \(\displaystyle{ t}\) oczywiście)
\(\displaystyle{ (0,2], \ (2, 3], \ (3,5], (5,+\infty)}\).
Dla \(\displaystyle{ t\in (0,2]}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac 1 6 \int_{0}^{\min(2,t)}\min(t-x, 3)\,\dd x=\frac 1 6 \int_{0}^{t}(t-x)\,\dd x}\)
Dla \(\displaystyle{ t\in(2,3]}\) jest
\(\displaystyle{ \frac 1 6 \int_{0}^{\min(2,t)}\min(t-x, 3)\,\dd x=\frac 1 6 \int_{0}^{2}(t-x)\,\dd x}\)
Dla \(\displaystyle{ t\in (3,5]}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac 1 6 \int_{0}^{\min(2,t)}\min(t-x, 3)\,\dd x=\frac 1 6 \int_{0}^{t-3}(t-x)\,\dd x+\frac 1 6 \int_{t-3}^{2}3\,\dd x}\)
Dla \(\displaystyle{ t\in(5,+\infty)}\) dostajemy
\(\displaystyle{ \frac 1 6 \int_{0}^{\min(2,t)}\min(t-x, 3)\,\dd x=\frac 1 6 \int_{0}^{2}3\,\dd x= 1}\)
Całki proszę sobie przeliczyć, nie pomogę w tym. Aha, nie interesuje mnie to, że zazwyczaj minimum zapisuje się w nawiasach klamrowych, tak jak napisałem mi jest wygodniej, a to tylko notacja, więc można ją sobie dowolnie zmieniać, byle konsekwentnie.