suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozk.wykł

[poozy]

Udowodnij, że suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładach wykładniczych z parametrami \(\displaystyle{ \lambda_1}\) i \(\displaystyle{ \lambda_2}\) ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda_1+\lambda_2}\). Przypomnienie: tutaj podana została gęstość rozkładu wykładniczego.
Jako ,że w przypomnieniu została podana gęstość r.wykł. to wydaje mi sie, że chodziło o roziwązanie tego zadania przy użyciu splotu, jednak po wyliczeniu całki nie otrzymuje nic co przypomina gęstość rozkładu wykładniczego z parametrem \(\displaystyle{ \lambda_1 +\lambda_2}\)

[Tmkk]

Zgadza się, bo to nieprawda. Minimum ma rozkład \(\displaystyle{ \hbox{Exp}\left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\)

[poozy]

tak właśnie w jednym z zadań wyszło,że minimum ma taki rozkład ale to o co pytałem to zadanie z kolokwium z zeszłego roku więc myślalem, że nie ma błędu.

[Premislav]

Jeżeli znasz funkcje charakterystyczne rozkładów prawdopodobieństwa, to z ich pomocą można szybciej weryfikować takie zależności (funkcja charakterystyczna skończonej sumy niezależnych zmiennych losowych to iloczyn ich funkcji charakterystycznych). Tutaj byłoby to:
\(\displaystyle{ \frac{\lambda_1}{\lambda_1-it}\cdot \frac{\lambda_2}{\lambda_2-it}}\), a to w żaden sposób nie będzie równe \(\displaystyle{ \frac{\lambda_1+\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2-it}}\)
Jeśli \(\displaystyle{ \lambda_2=\lambda_1}\), to otrzymasz rozkład gamma z parametrami \(\displaystyle{ \alpha=2, \ \beta=\lambda_1}\), w przeciwnym razie nic szczególnie znanego.

Zadania na kolokwium to się sprawdza, więc wniosek jest taki, że jeśli nie nastąpił błąd w przepisywaniu polecenia, to prowadzący nie ma kolan i łokci.

[janusz47]

Najpierw obliczmy splot dwóch funkcji exp:

\(\displaystyle{ e^{-ax}*e^{-bx}=\int e^{-a(x-u)}e^{-bu}dx =e^{-ax}\frac{e^{(a-b)x}-1}{a-b}= \frac{e^{-ax} -e^{-bx}}{a-b}.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ f_{X_{1}+X_{2}}(x) = f_{X_{1}}*f_{X_{2}} = \lambda_{1}\cdot \lambda_{2}\left[ \frac{e^{-\lambda_{2}x} - e^{-\lambda_{1}x }}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\right]=\lambda_{1}\cdot \lambda_{2}\left[ \frac{e^{\lambda_{1}x}}{\lambda_{2} - \lambda_{1}}+ \frac{e^{-\lambda_{2}x}}{\lambda_{1} - \lambda_{2}}\right].}\)

[poozy]

Zadania na kolokwium to się sprawdza, więc wniosek jest taki, że jeśli nie nastąpił błąd w przepisywaniu polecenia, to prowadzący nie ma kolan i łokci.

raczej mu nie przekaże