prawdopodobieństwo zdarzeń (iloczyn zdarzeń)

[buszujacy]

Proszę o pomoc w następującym zadaniu.
\(\displaystyle{ P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ P(A-B) = P(C-B) = \frac{1}{6}}\)

\(\displaystyle{ A\cap ∩C = Ø}\)

Do policzenia mam:

\(\displaystyle{ P(A|B)}\)

\(\displaystyle{ P(C|B)}\)

\(\displaystyle{ P(A\cup ∪B\cup ∪C)}\)

\(\displaystyle{ P(A\cup ∪B)}\)

\(\displaystyle{ P(B\cap ∩C)}\)

Początkowo wyliczyłem (chociaż nie jestem przekonany czy na pewno dobrze), że:
\(\displaystyle{ P(A|B) = \frac{P(A\cap ∩B)}{P(B)} = \frac{ \frac{1}{6} }{ \frac{1}{3} } = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ P(C|B) = \frac{P(C\cap ∩B)}{P(B)} = \frac{ \frac{1}{6} }{ \frac{1}{3} } = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ P(A\cup ∪B) = P(A) + P(B) - P(A\cap ∩B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6}}\)

\(\displaystyle{ P(B\cap ∩C) = P(C|B) x P(B) = \frac{1}{2} * \frac{1}{3} = \frac{1}{6}}\)

a zaciąłem się na sumie, a konkretnie na iloczynie po przekształceniu:
\(\displaystyle{ P(A\cup ∪B\cup ∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A\cap ∩B) - P(A\cap ∩C) - P(B\cap ∩C) + P(A\cap ∩B\cap ∩C)}\)

\(\displaystyle{ P(A\cup ∪B\cup ∪C) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{9} - \frac{1}{6} + P(A\cap ∩B\cap ∩C)}\)


Jak to teraz policzyć?
Czy powinien iloczyn zamienić na:
\(\displaystyle{ P(C|(A\cap ∩B))}\) ?

[MrCommando]

Skoro masz informację w zadaniu o tym, że \(\displaystyle{ A \cap C =\emptyset}\), to również \(\displaystyle{ A \cap B \cap C=\emptyset}\). A wiadomo, że \(\displaystyle{ P\left(\emptyset\right)=0}\).

[buszujacy]

A czy w takim dobrze rozumiem, że tak samo będzie w przypadku
\(\displaystyle{ A \cap B =\emptyset}\)
\(\displaystyle{ B \cap C =\emptyset}\)
?

[MrCommando]

Nie, nie będzie. Skąd masz taki wniosek? Wyżej obliczyłeś jaka jest wartość \(\displaystyle{ P(B \cap C)}\). Zero to to nie było. Więc skąd pomysł, że w ogóle możliwe jest \(\displaystyle{ B \cap C = \emptyset}\)?

[buszujacy]

Rzeczywiście pośpieszyłem się ze swoim wnioskiem...
Przez chwilę myślałem, że skoro początkowo dostałem informację, że skoro
\(\displaystyle{ P(A)=P(B)=P(C)}\)
oraz
\(\displaystyle{ A \cap C =\emptyset \Rightarrow A \cap B \cap C=\emptyset}\)

W takim razie już rozumiem.
\(\displaystyle{ A \cap B \cap C=\emptyset}\)
ponieważ część, którą jest\(\displaystyle{ A \cap C =\emptyset.}\)

i to samo miałoby miejsce gdyby
\(\displaystyle{ B \cap C=\emptyset}\)

lub

\(\displaystyle{ A \cap B=\emptyset}\)

Dziękuję zatem bardzo za pomoc

Pozdrawiam,