Wykaż, że - w prawdopodobieństwie

[maciek00]

Witam, niezbyt wiem jak ruszyć to zadanie:

Niech \(\displaystyle{ A, B}\) będą zdarzeniami zawartymi w przestrzeni \(\displaystyle{ \Omega}\) oraz \(\displaystyle{ 0 < P(A) < 1}\). Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)}\), to \(\displaystyle{ P[(A \cup B)| A' ] = P(B)}\), gdzie \(\displaystyle{ P[(A \cup B)| A']}\) oznacza prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(\displaystyle{ A \cup B}\) pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(\displaystyle{ A'}\).

W rozwiązaniu wykorzystano, że \(\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)}\) oznacza, że zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są niezależne. Dlaczego tak jest? Czy da się to przedstawić graficznie, działając na zbiorach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ \Omega}\)?

[leg14]

Dlaczego tak jest?

A jaka jest definicja niezależności zdarzeń?

[Jan Kraszewski]

W rozwiązaniu wykorzystano, że \(\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)}\) oznacza, że zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są niezależne. Dlaczego tak jest?

Bo takie jest w tym zadaniu założenie.

JK

[maciek00]

Ok, rozumiem, dlaczego A i B są niezależne. Ale jak dalej mogę to ruszyć?

[janusz47]

Z założenia niezależności zdarzeń \(\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B).}\)

Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego:

\(\displaystyle{ P[(A \cup B)|A'] = \frac{P[(A \cup B) \cap A']}{P(A')} = \frac{P(A \cap A')+P(B \cap A')}{P(A')}= \frac{0 + P(B)\cdot P(A')}{P(A')} =\\ = P(B), \ \ P(A')> 0.}\)
cnd.

Skorzystaliśmy z twierdzenia

Jeżeli zdarzenia \(\displaystyle{ A, B}\) są niezależne, to niezależne są zdarzenia:
\(\displaystyle{ A', B.}\)

Niezależne są też zdarzenia

\(\displaystyle{ A, B'}\)
i
\(\displaystyle{ A', B'.}\)

Postaraj się udowodnić to twierdzenie.

[Jan Kraszewski]

Skorzystaliśmy z twierdzenia

Jeżeli zdarzenia \(\displaystyle{ A, B}\) są niezależne, to niezależne są zdarzenia:
\(\displaystyle{ A', B.}\)

440035.htm

JK