Prawdopodobieństwo, że autobus A przyjedzie pierwszy

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
Leoneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 27 mar 2017, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 15 razy

Prawdopodobieństwo, że autobus A przyjedzie pierwszy

Post autor: Leoneq »

Mam takie zadanie:
Momenty przybycia autobusów A i B są niezależnymi zmiennymi losowymi X,Y o rozkładzie wykładniczym z parametrami \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\)

a)Znajdź rozkład momentu przybycia pierwszego autobusu
b)Oblicz prawdopodobieństwo, że autobus A przyjedzie pierwszy.

I chciałbym się dowiedzieć czy moje rozumowanie jest prawidłowe:
a) X i Y są niezależne, więc rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej X będzie zwykłym rozkładem wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ \alpha}\) czyli dla zbioru B z naszej przestrzeni:
\(\displaystyle{ \mu(B)=\int_{B} \alpha e^{-\alpha x} dx}\)

b) Wiemy, że X i Y są niezależne, o rozkładzie wykładniczym, więc gęstość (X,Y) będzie iloczynem gęstości X i Y czyli: \(\displaystyle{ f(x,y)=f_{X}(x) \cdot f_{Y}(y) = \alpha e^{-\alpha x} \beta e^{-\beta x}}\)
zatem:
\(\displaystyle{ P(X \le Y) = \int_{0}^{+ \infty } \int_{x}^{+ \infty } \alpha e^{-\alpha x} \beta e^{-\beta x} dx dy}\)

Z góry dziękuję za pomoc.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Prawdopodobieństwo, że autobus A przyjedzie pierwszy

Post autor: Premislav »

a) No nie, chodzi o to, żebyś znalazł rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=\min(X, Y)}\). A robi się to z grubsza tak:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Z\le z)=\mathbf{P}(\min(X, Y)\le z)=1-\mathbf{P}(\min(X,Y)>z)=\\=1-\mathbf{P}(X>z, Y>z)=1-\mathbf{P}(X>z)\cdot \mathbf{P}(Y>z)}\)
i dalej korzystasz ze znajomości tych rozkładów. W przejściu
\(\displaystyle{ 1-\mathbf{P}(X>z, Y>z)=1-\mathbf{P}(X>z)\cdot \mathbf{P}(Y>z)}\)
korzystam z niezależności zmiennych losowych \(\displaystyle{ X,Y}\). No i teraz tam można podstawić, korzystając z wiedzy o \(\displaystyle{ X, Y}\). Wyjdzie rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \alpha+\beta}\).

b) Pomysł z rozkładem łącznym jest OK, ale mała korekta (inna kolejność całkowania):
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X \le Y) = \int_{0}^{+ \infty } \int_{x}^{+ \infty } \alpha e^{-\alpha x} \beta e^{-\beta y} \,\dd y\,\dd x}\)
no i to trzeba policzyć.
Awatar użytkownika
Leoneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 27 mar 2017, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 15 razy

Re: Prawdopodobieństwo, że autobus A przyjedzie pierwszy

Post autor: Leoneq »

Dziękuję za szybką odpowiedź i sprawdzenie.
ODPOWIEDZ