Mam takie zadanie:
Momenty przybycia autobusów A i B są niezależnymi zmiennymi losowymi X,Y o rozkładzie wykładniczym z parametrami \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\)
a)Znajdź rozkład momentu przybycia pierwszego autobusu
b)Oblicz prawdopodobieństwo, że autobus A przyjedzie pierwszy.
I chciałbym się dowiedzieć czy moje rozumowanie jest prawidłowe:
a) X i Y są niezależne, więc rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej X będzie zwykłym rozkładem wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ \alpha}\) czyli dla zbioru B z naszej przestrzeni:
\(\displaystyle{ \mu(B)=\int_{B} \alpha e^{-\alpha x} dx}\)
b) Wiemy, że X i Y są niezależne, o rozkładzie wykładniczym, więc gęstość (X,Y) będzie iloczynem gęstości X i Y czyli: \(\displaystyle{ f(x,y)=f_{X}(x) \cdot f_{Y}(y) = \alpha e^{-\alpha x} \beta e^{-\beta x}}\)
zatem:
\(\displaystyle{ P(X \le Y) = \int_{0}^{+ \infty } \int_{x}^{+ \infty } \alpha e^{-\alpha x} \beta e^{-\beta x} dx dy}\)
Z góry dziękuję za pomoc.
Prawdopodobieństwo, że autobus A przyjedzie pierwszy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Prawdopodobieństwo, że autobus A przyjedzie pierwszy
a) No nie, chodzi o to, żebyś znalazł rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=\min(X, Y)}\). A robi się to z grubsza tak:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Z\le z)=\mathbf{P}(\min(X, Y)\le z)=1-\mathbf{P}(\min(X,Y)>z)=\\=1-\mathbf{P}(X>z, Y>z)=1-\mathbf{P}(X>z)\cdot \mathbf{P}(Y>z)}\)
i dalej korzystasz ze znajomości tych rozkładów. W przejściu
\(\displaystyle{ 1-\mathbf{P}(X>z, Y>z)=1-\mathbf{P}(X>z)\cdot \mathbf{P}(Y>z)}\)
korzystam z niezależności zmiennych losowych \(\displaystyle{ X,Y}\). No i teraz tam można podstawić, korzystając z wiedzy o \(\displaystyle{ X, Y}\). Wyjdzie rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \alpha+\beta}\).
b) Pomysł z rozkładem łącznym jest OK, ale mała korekta (inna kolejność całkowania):
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X \le Y) = \int_{0}^{+ \infty } \int_{x}^{+ \infty } \alpha e^{-\alpha x} \beta e^{-\beta y} \,\dd y\,\dd x}\)
no i to trzeba policzyć.
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Z\le z)=\mathbf{P}(\min(X, Y)\le z)=1-\mathbf{P}(\min(X,Y)>z)=\\=1-\mathbf{P}(X>z, Y>z)=1-\mathbf{P}(X>z)\cdot \mathbf{P}(Y>z)}\)
i dalej korzystasz ze znajomości tych rozkładów. W przejściu
\(\displaystyle{ 1-\mathbf{P}(X>z, Y>z)=1-\mathbf{P}(X>z)\cdot \mathbf{P}(Y>z)}\)
korzystam z niezależności zmiennych losowych \(\displaystyle{ X,Y}\). No i teraz tam można podstawić, korzystając z wiedzy o \(\displaystyle{ X, Y}\). Wyjdzie rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \alpha+\beta}\).
b) Pomysł z rozkładem łącznym jest OK, ale mała korekta (inna kolejność całkowania):
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X \le Y) = \int_{0}^{+ \infty } \int_{x}^{+ \infty } \alpha e^{-\alpha x} \beta e^{-\beta y} \,\dd y\,\dd x}\)
no i to trzeba policzyć.
- Leoneq
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 27 mar 2017, o 17:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 15 razy
Re: Prawdopodobieństwo, że autobus A przyjedzie pierwszy
Dziękuję za szybką odpowiedź i sprawdzenie.