Oblicz prawdopodobieństwo

[analityk87]

Niech \(\displaystyle{ X_{1}}\), ... , \(\displaystyle{ X _{100}}\) będą zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie \(\displaystyle{ f(x)=12x (1-x)^{2}}\) dla \(\displaystyle{ 0<x<1}\). Oblicz prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ P(38 \le \sum_{i=1}^{100} X _{i} \le 44)}\)

[Premislav]

Zabrakło założenia o niezależności, bez niego niewiele da się zrobić, a z nim to jest kolejne zastosowanie centralnego tw. granicznego. Liczysz wartość oczekiwaną i wariancję (można też zauważyć, że jest to rozkład beta z parametrami \(\displaystyle{ \alpha=2, \ \beta=3}\) i odczytać te parametry korzystając z ogólnych wzorów na wartość oczekiwaną i wariancję w tym rozkładzie), przedstawiasz
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( 38 \le \sum_{i=1}^{100} X _{i} \le 44\right) =\\=\mathbf{P}\left( \frac{38-100 \ \mathbf{E}X_1}{\sqrt{100 \mathbf{Var} X_1}} \le \sum_{i=1}^{100} \frac{X _{i}-\matjbf{E}X_i}{\sqrt{100 \mathbf{Var} X_1}} \le \frac{44-100 \ \mathbf{E}X_1}{ \sqrt{100 \mathbf{Var} X_1} }\right)}\)
i tak dalej…

[analityk87]

Przepraszam miało być niezależne zmienne losowe. Jak w tym wypadku trzeba to rozwiązać?

[Premislav]

No to tak, jak wyżej napisałem, dochodzisz do
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( 38 \le \sum_{i=1}^{100} X _{i} \le 44\right) =\\=\mathbf{P}\left( \frac{38-100 \ \mathbf{E}X_1}{\sqrt{100 \mathbf{Var} X_1}} \le \sum_{i=1}^{100} \frac{X _{i}-\matjbf{E}X_i}{\sqrt{100 \mathbf{Var} X_1}} \le \frac{44-100 \ \mathbf{E}X_1}{ \sqrt{100 \mathbf{Var} X_1} }\right)}\)
Tę wariancję i wartość oczekiwaną można policzyć, to są odpowiednie całki, a można też skorzystać z

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Rozk%C5%82ad_beta

, choć polecam to pierwsze, zwłaszcza jeśli nie masz wprawy.
Jeśli zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład ciągły z gęstością \(\displaystyle{ f(x)}\), to
\(\displaystyle{ \mathbf{E}X= \int_{\RR}^{} xf(x)\,\dd x}\), tutaj byłoby to
\(\displaystyle{ \int_{\RR}^{}x\cdot x(1-x)^2 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,1)}(x)\,\dd x= \int_{0}^{1}x^2(1-x)^2\,\dd x}\)
(to jest \(\displaystyle{ \mathrm{B}(3,3)=\frac{\Gamma(3)\Gamma(3)}{\Gamma(6)}=\frac{(2!)^2}{5!}=\frac{1}{30}}\)).
Wariancję dla rozkładu ciągłego o gęstości \(\displaystyle{ f(x)}\) i wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ \mu}\) liczysz wzorkiem
\(\displaystyle{ \mathrm{Var} X= \int_{\RR}^{} (x-\mu)^2f(x)\,\dd x}\), zostawiam to w tym przypadku jako ćwiczenie.

Potem powołujesz się na centralne twierdzenie graniczne i dla obliczonych wartości \(\displaystyle{ \mathrm{E}X, \ \mathrm{Var} X}\) przybliżasz to prawdopodobieństwo z zadania przez:
\(\displaystyle{ \Phi\left(\frac{44-100 \ \mathbf{E}X_1}{ \sqrt{100 \mathbf{Var} X_1} } \right) -\Phi\left( \frac{38-100 \ \mathbf{E}X_1}{\sqrt{100 \mathbf{Var} X_1}} \right)}\),
gdzie \(\displaystyle{ \Phi}\) to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego. Wartości tej dystrybuanty odczytujesz z tablic: _ ... normalnego bądź sprawdzasz odpowiednim poleceniem w jakimś programie, np. R