W pewnej fabryce telewizorów każdy z aparatów może być wadliwy z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\). W fabryce są trzy stanowiska kontroli i wyprodukowany telewizor trafia na każde ze stanowisk z jednakowym prawdopodobieństwem. Załóżmy, że \(\displaystyle{ i}\)-te stanowisko wykrywa wadliwy telewizor z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p_i(i=1,2,3)}\). Telewizory nie odrzucone w fabryce trafiają do hurtowni i tam poddawane są dodatkowej kontroli która wykrywa wadliwy telewizor z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p_0}\).
a) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że dany nowowyprodukowany telewizor znajdzie się w sprzedaży (tzn. przejdzie przez obie kontrole).
b) Przypuśćmy, że telewizor jest już w sklepie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest on wadliwy?
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
a) Prawdopodobieństwo, że telewizor jest niewadliwy wynosi \(\displaystyle{ 1-p}\) i wtedy na pewno przejdzie obie kontrole. Prawdopodobieństwo, że telewizor jest wadliwy, ale przejdzie obie kontrole wynosi:
\(\displaystyle{ p( \frac{1}{3}(1-p_1))(1-p_0)+p( \frac{1}{3}(1-p_2))(1-p_0)+p( \frac{1}{3}(1-p_3))(1-p_0)}\), bo szansa trafienia na \(\displaystyle{ i}\)-te stanowisko wynosi zawsze \(\displaystyle{ 1/3}\) i na każdym stanowisku prawdopodobieństwo przejścia kontroli wynosi \(\displaystyle{ 1-p_i}\). Na końcu jest druga kontrola i prawdopodobieństwo jej przejścia wynosi zawsze \(\displaystyle{ 1-p_0}\). Zatem ostatecznie prawdopodobieństwo zdarzenia w a) wyniesie
\(\displaystyle{ 1-p+p( \frac{1}{3}(1-p_1))(1-p_0)+p( \frac{1}{3}(1-p_2))(1-p_0)+p( \frac{1}{3}(1-p_3))(1-p_0) =1-pp_0- \frac{1}{3}p(p_1+p_2+p_3)(1-p_0)}\)
b) Niech \(\displaystyle{ A}\) oznacza zdarzenie, że dany telewizor jest wadliwy. Niech \(\displaystyle{ B}\) oznacza, że telewizor jest już w sklepie.
\(\displaystyle{ P(A \cap B)= \frac{1}{3}p(1-p_0)(3-(p_1+p_2+p_3))}\), bo prawdopodobieństwo, że jest wadliwy wynosi \(\displaystyle{ p}\), trafia on z szansą \(\displaystyle{ 1/3}\) na dowolne stanowisko i to, że przejdzie pierwszą kontrolę wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}(3-(p_1+p_2+p_3))}\) i prawdopodobieństwo, że przejdzie drugą kontrolę wynosi \(\displaystyle{ 1-p_0}\). Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(\displaystyle{ B}\) wynosi tyle co w podpunkcie a) czyli \(\displaystyle{ 1-pp_0- \frac{1}{3}p(p_1+p_2+p_3)(1-p_0)}\). Zatem prawdopodobieństwo zajścia \(\displaystyle{ A}\) pod warunkiem \(\displaystyle{ B}\) wynosi:
\(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{\frac{1}{3}p(1-p_0)(3-(p_1+p_2+p_3))}{1-pp_0- \frac{1}{3}p(p_1+p_2+p_3)(1-p_0)}}\).
Czy tak jest dobrze?