Zadania z prawdopodobieństwa

[Karas54]

Mam takie 3 zadania z rachunku prawdopodobieństwo rozwiązać a nie wiem jak. Proszę o pomoc.

1. Rzucamy kością do gry \(\displaystyle{ n}\)-krotnie, jakie jest prawdopodobieństwo, że:
a) wyrzucimy dokładnie/mniej/więcej \(\displaystyle{ k}\) razy \(\displaystyle{ 6}\) oczek/liczbę pierwszą/parzystą/etc
b) suma oczek będzie parzysta/liczbą pierwszą/etc.
c) wyniki rzutów będą unikalne (dla \(\displaystyle{ n < 7}\))
d) wyniki tworzą ciąg arytmetyczny
e) przynajmniej raz wyrzucona liczba oczek będzie odpowiadała numerowi rzutu

2. W urnie znajduje się:
a) \(\displaystyle{ 4}\) kule białe, \(\displaystyle{ 3}\) kule czarne - losujemy bez zwracania/ze zwracaniem dwie kule, jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie \(\displaystyle{ 1}\) kuli białej
b) \(\displaystyle{ 6}\) kul białych, \(\displaystyle{ 3}\) kule czarne - losujemy bez zwracania dwie kule, jakie jest prawdopodobieństwo, że kule są tego samego koloru
c) \(\displaystyle{ 6}\) kul białych, \(\displaystyle{ 4}\) kule czarne - losujemy bez zwracania najpierw jedną, następnie trzy, jakie jest prawdopodobieństwo, że te trzy kule są białe

3. Z ciągu \(\displaystyle{ \{1,2,3,...,n\}}\) losujemy dwie liczby \(\displaystyle{ (a,b)}\), jakie jest prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ a<k<b}\), gdzie \(\displaystyle{ 1<k<n}\) i \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą całkowitą.

[kerajs]

3)
\(\displaystyle{ P= \frac{(k-1)(n-k)}{n(n-1)}}\)

1.
b) suma oczek będzie liczbą pierwszą.

Fajny żart.

[Karas54]

3)
\(\displaystyle{ P= \frac{(k-1)(n-k)}{n(n-1)}}\)

1.
b) suma oczek będzie liczbą pierwszą.

Fajny żart.

Dlaczego tak?

[kerajs]

Liczb od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ k}\) i mniejszych od \(\displaystyle{ k}\) jest \(\displaystyle{ k-1}\).
Liczb od \(\displaystyle{ k}\) do \(\displaystyle{ n}\) i większych od \(\displaystyle{ k}\) jest \(\displaystyle{ n-k}\).
Sądziłem że wpierw mamy wylosować \(\displaystyle{ a}\), a następnie \(\displaystyle{ b}\). Stąd: \(\displaystyle{ P= \frac{k-1}{n} \cdot \frac{n-k}{n-1}}\)

Jednak jeśli kolejność nie jest ważna, a za \(\displaystyle{ b}\) bierzemy większą z wylosowanych liczb to: \(\displaystyle{ P= \frac{(k-1)(n-1)+(n-1)}{ n(n-1) }= \frac{2(k-1)(n-k)}{n(n-1)}}\)
Sam uznaj która odpowiedź bardziej pasuje do treści zadania.


Co do mojego komentarza to wynika on z braku wzoru na ilość liczb liczb pierwszych w zależności od \(\displaystyle{ n}\) ( czy też \(\displaystyle{ 6n}\) ) . A może taki wzór jednak istnieje?

[Karas54]

Liczb od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ k}\) i mniejszych od \(\displaystyle{ k}\) jest \(\displaystyle{ k-1}\).
Liczb od \(\displaystyle{ k}\) do \(\displaystyle{ n}\) i większych od \(\displaystyle{ k}\) jest \(\displaystyle{ n-k}\).
Sądziłem że wpierw mamy wylosować \(\displaystyle{ a}\), a następnie \(\displaystyle{ b}\). Stąd: \(\displaystyle{ P= \frac{k-1}{n} \cdot \frac{n-k}{n-1}}\)

Jednak jeśli kolejność nie jest ważna, a za \(\displaystyle{ b}\) bierzemy większą z wylosowanych liczb to: \(\displaystyle{ P= \frac{(k-1)(n-1)+(n-1)}{ n(n-1) }= \frac{2(k-1)(n-k)}{n(n-1)}}\)
Sam uznaj która odpowiedź bardziej pasuje do treści zadania.


Co do mojego komentarza to wynika on z braku wzoru na ilość liczb liczb pierwszych w zależności od \(\displaystyle{ n}\) ( czy też \(\displaystyle{ 6n}\) ) . A może taki wzór jednak istnieje?

Dzięki. A moze wiesz jak zrobic 1c) 1d)?

[kerajs]

Owszem.

1. Rzucamy kością do gry \(\displaystyle{ n}\)-krotnie, jakie jest prawdopodobieństwo, że:
a) wyrzucimy dokładnie/mniej/więcej \(\displaystyle{ k}\) razy \(\displaystyle{ 6}\) oczek/liczbę pierwszą/parzystą/etc

wyrzucimy dokładnie \(\displaystyle{ k}\) razy \(\displaystyle{ 6}\) oczek
\(\displaystyle{ P= {n \choose k} \left( \frac{1}{6} \right)^k \left( \frac{1}{6} \right)^{n-k}}\)
wyrzucimy mniej niż \(\displaystyle{ k}\) razy \(\displaystyle{ 6}\) oczek
\(\displaystyle{ P= \sum_{i=0}^{k-1} {n \choose i} \left( \frac{1}{6} \right)^i \left( \frac{1}{6} \right)^{n-i}}\)
wyrzucimy więcej niż \(\displaystyle{ k}\) razy \(\displaystyle{ 6}\) oczek
\(\displaystyle{ P= \sum_{i=k+1}^{n} {n \choose i} \left( \frac{1}{6} \right)^i \left( \frac{1}{6} \right)^{n-i}}\)
wyrzucimy dokładnie \(\displaystyle{ k}\) razy liczbę pierwszą
\(\displaystyle{ P= {n \choose k} \left( \frac{1}{2} \right)^k \left( \frac{1}{2} \right)^{n-k}}\)
wyrzucimy mniej niż \(\displaystyle{ k}\) razy liczbę pierwszą
\(\displaystyle{ P= \sum_{i=0}^{k-1} {n \choose i} \left( \frac{1}{2} \right)^i \left( \frac{1}{2} \right)^{n-i}}\)
wyrzucimy więcej niż \(\displaystyle{ k}\) razy liczbę pierwszą
\(\displaystyle{ P= \sum_{i=k+1}^{n} {n \choose i} \left( \frac{1}{2} \right)^i \left( \frac{1}{2} \right)^{n-i}}\)
wyrzucimy dokładnie \(\displaystyle{ k}\) razy liczbę parzystą
\(\displaystyle{ P= {n \choose k} \left( \frac{1}{2} \right)^k \left( \frac{1}{2} \right)^{n-k}}\)
wyrzucimy mniej niż \(\displaystyle{ k}\) razy liczbę parzystą
\(\displaystyle{ P= \sum_{i=0}^{k-1} {n \choose i} \left( \frac{1}{2} \right)^i \left( \frac{1}{2} \right)^{n-i}}\)
wyrzucimy więcej niż \(\displaystyle{ k}\) razy liczbę parzystą
\(\displaystyle{ P= \sum_{i=k+1}^{n} {n \choose i} \left( \frac{1}{2} \right)^i \left( \frac{1}{2} \right)^{n-i}}\)

-- 10 mar 2019, o 19:11 --

Sorka, żle przecztałem.
1c)
\(\displaystyle{ P= \frac{n!}{6^n} \wedge n \le 6}\)
1d)
dla \(\displaystyle{ n>6}\) są tylko ciągi stałe
\(\displaystyle{ P= \frac{6}{6^n}}\)
dla \(\displaystyle{ n=6}\) są ciągi stałe i po jednym ciągu rosnącym i malejącym
\(\displaystyle{ P= \frac{8}{6^6}}\)
dla \(\displaystyle{ n=5}\) są ciągi stałei i po dwa ciągi rosnące i malejące
\(\displaystyle{ P= \frac{10}{6^5}}\)
dla \(\displaystyle{ n=4}\) są ciągi stałei i po trzy ciągi rosnące i malejące
\(\displaystyle{ P= \frac{12}{6^4}}\)
dla \(\displaystyle{ n=3}\) są ciągi stałei i po sześć ciągów rosnących i malejących
\(\displaystyle{ P= \frac{18}{6^3}}\)

[Karas54]

Moze jeszcze 1e)?

[a4karo]

Policz prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego