W \(\displaystyle{ n}\) rozróżnialnych urnach rozmieszczono losowo \(\displaystyle{ n}\) rozróżnialnych kul. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie jedna urna zostanie pusta?
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Wszystkie możliwości liczę tak: Bierzemy pierwszą kulę możemy ją rozmieścić w \(\displaystyle{ n}\) urnach, bierzemy drugą możemy ją umieścić też w \(\displaystyle{ n}\) urnach itd. Zatem wszystkich możliwości jest \(\displaystyle{ n^n}\).
Możliwości sprzyjające liczę tak:
Wybieram na \(\displaystyle{ n}\) sposobów urnę która ma pozostać pusta. Potem zapełniam pojedynczymi kulami pozostałe urny-biorę pierwszą kulę ,mogę ją rozmieścić na \(\displaystyle{ n-1}\) sposobów, biorę drugą i rozmieszczam na \(\displaystyle{ n-2}\) sposoby itd, biorę przedostatnią kulę i mogę ją rozmieścić na jeden sposób i biorę ostatnią kulę którą mogę rozmieścić dowolnie wśród niezabronionych urn czyli na \(\displaystyle{ n-1}\) sposobów.
Czyli prawdopodobieństwo tego zdarzenia wyniesie:
\(\displaystyle{ \frac{n!(n-1)}{n^n}}\)
Czy tak jest dobrze?
W n rozróżnialnych urnach
-
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
Re: W n rozróżnialnych urnach
Jest prawie dobrze. Ponumerujmy kule i urny i operujmy ciągami liczb od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\) długości \(\displaystyle{ n}\). Jeśli na miejscu \(\displaystyle{ m}\) mamy liczbę \(\displaystyle{ k}\), oznacza to, że kula o numerze \(\displaystyle{ m}\) trafiła do urny nr \(\displaystyle{ k}\). Interesują nas takie ciągi, w których pewnej liczby nie ma, pewna liczba się powtórzyła, a pozostałe są różne.
Wybieramy więc na \(\displaystyle{ n}\) sposób liczbę, której ma nie być, na \(\displaystyle{ n-1}\) tę, która ma się pojawić dwukrotnie, na \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) miejsca dwukrotnego wystąpienia. Pozostałe \(\displaystyle{ n-2}\) elementy ciągu są wybrane i trzeba je tylko spermutować. Ostatecznie wychodzi:
\(\displaystyle{ {n \choose 2}\cdot n!}\)
Ty rozwiązałeś zadanie przy założeniu, że powtarzająca się liczba wystąpi na ostatnim miejscu ciągu (wyróżniasz ostatnią kulę jako tę, którą gdzieś dołożysz).
Wybieramy więc na \(\displaystyle{ n}\) sposób liczbę, której ma nie być, na \(\displaystyle{ n-1}\) tę, która ma się pojawić dwukrotnie, na \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) miejsca dwukrotnego wystąpienia. Pozostałe \(\displaystyle{ n-2}\) elementy ciągu są wybrane i trzeba je tylko spermutować. Ostatecznie wychodzi:
\(\displaystyle{ {n \choose 2}\cdot n!}\)
Ty rozwiązałeś zadanie przy założeniu, że powtarzająca się liczba wystąpi na ostatnim miejscu ciągu (wyróżniasz ostatnią kulę jako tę, którą gdzieś dołożysz).