Wartość oczekiwana Poisson

[leg14]

Niech \(\displaystyle{ a > 1, N \sim Poiss(\lambda)}\).
Czy takiego psa da się policzyć:
\(\displaystyle{ \EE \frac{1}{a + N}}\)?

[szw1710]

Zmienna losowa o rozkładzie Poissona jest dyskretna. Zapisz więc sumę odpowiedniego szeregu.

[leg14]

No dobra troche sie nie popisalem
\(\displaystyle{ e^{-\lambda} f(\lambda) = \EE = \sum_{}^{}e^{- \lambda} \frac{\lambda^{n}}{n!}\frac{1}{n +a}}\)
\(\displaystyle{ (\lambda ^{a}f(\lambda))^{'} = \lambda^{a-1} \sum_{}^{} \frac{\lambda^{n}}{n!} = e^{\lambda}\lambda^{a-1}}\)

Czyli mam rown. rozn. :
\(\displaystyle{ \lambda^{a} f^{'}(\lambda) = (e^{\lambda} - af(\lambda))\lambda^{a-1}}\)

\(\displaystyle{ \lambda f'(\lambda) = e^{\lambda} - af(\lambda)}\)

Panie Szymonie, dobrze jest! do zamknięcia, a nie
Nie umiem tego rozwiazac

[janusz47]

A może najpierw znaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ \frac{1}{N +a}, \ \ a>1?}\)

\(\displaystyle{ \frac{\lambda^{n}}{n!}e^{-\lambda}= Pr(\{N=n\})= Pr\left(\left\{\frac{1}{N+a}= \frac{1}{n}-a\right\}\right)}\)

[leg14]

Wiem jak podać gęstość tej zmiennej losowej.
Czy to jest jakiś znany rozkład?

[janusz47]

Ten rozkład nie ma nazwy.

[leg14]

To jak Twoja uwaga pomaga w policzeniu tej wartosci oczekiwanej

[janusz47]

Możemy policzyć funkcję masy prawdopodobieństwa (pmf).

[leg14]

Przecież wypisałem już wzór na tę wartośc oczekiwaną w postacvi szeregu.
Ja pytam o przedstawienie tego w jakiejś przyjemniejszej formie (np. funkcje elementarne utp.)

Zresztącała ta rozmowa jest jakaś surrealisyyczna, popatrz co napisałem

Wiem jak podać gęstość tej zmiennej losowej.

a Ty odpowiadasz parę postów niżej

Możemy policzyć funkcję masy prawdopodobieństwa (pmf).

Zaden ze mnie gewniusz, ale chya juz zauwazyles ze policzenie gestosci nie stanowi dla mnie problemu