obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję
-
TobiWan
- Użytkownik
- Posty: 92
- Rejestracja: 9 lip 2016, o 12:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękował: 14 razy
obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję
Jaś ma dwie monety asymetryczne. Na jednej wypada orzeł z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1/4}\), na drugiej — z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 3/4}\). Losuje monetę z równym prawdopodobieństwem, a następnie rzuca wylosowaną monetą dwa razy. Niech \(\displaystyle{ X}\)oznacza liczbę wylosowanych orłów. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\)
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję
Doświadczenie losowe opisane w zadaniu polega na
- wylosowaniu jednej z dwóch asymetrycznych monet - etap I
- rzucaniu dwukrotnym wylosowaną monetą - etap II.
Etap I
\(\displaystyle{ \Omega = \{ O, R \}}\)
\(\displaystyle{ P(\{O\}) = P(\{R\}) = \frac{1}{2}.}\)
Etap II
\(\displaystyle{ \Omega_{21} = \{ OO, OR, RO, RR \}}\)
\(\displaystyle{ P(\{OO\}) = \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}= \frac{1}{16}.}\)
\(\displaystyle{ P(\{OR\}) = \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}= \frac{3}{16}.}\)
\(\displaystyle{ P(\{RO\}) = \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}= \frac{3}{16}.}\)
\(\displaystyle{ P(\{RR\}) = \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}= \frac{9}{16}.}\)
\(\displaystyle{ \Omega_{22} = \{ OO, OR, RO, RR \}}\)
\(\displaystyle{ P(\{OO\}) = \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}= \frac{9}{16}.}\)
\(\displaystyle{ P(\{OR\}) = \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}= \frac{3}{16}.}\)
\(\displaystyle{ P(\{RO\}) = \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}= \frac{3}{16}.}\)
\(\displaystyle{ P(\{RR\}) = \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}= \frac{1}{16}.}\)
Rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\)
\(\displaystyle{ P(\{X = 0\}) = p_{0} = \frac{1}{2}\cdot \frac{9}{16}+ \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{16}=\frac{10}{32}}\)
\(\displaystyle{ P(\{X = 1\}) = p_{1} = \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{16}+ \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{16}+ \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{16}+ \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{16} = \frac{12}{32}}\)
\(\displaystyle{ P(\{X = 2\}) = p_{2} = \frac{1}{2}\cdot \frac{9}{16}+ \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{16}=\frac{10}{32}.}\)
Wartość oczekiwana zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\)
\(\displaystyle{ E(X) = 0\cdot \frac{10}{32} + 1\cdot \frac{12}{32}+ 2\cdot \frac{10}{32}= \frac{32}{32}=1.}\)
Wariancja zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\)
\(\displaystyle{ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2= 0^2\cdot \frac{10}{32} + 1^2\cdot \frac{12}{32}+ 2^2\cdot \frac{10}{32} - 1^2 = \frac{20}{32}= \frac{5}{8}.}\)
Interpretacja otrzymanych wyników
W wyniku realizacji dwuetapowego doświadczenia losowego należy oczekiwać, że średnia liczba wyrzuconych orłów wynosi \(\displaystyle{ 1}\) i kwadrat odchylenia od tej wartości jest równy \(\displaystyle{ \frac{5}{8}.}\)
- wylosowaniu jednej z dwóch asymetrycznych monet - etap I
- rzucaniu dwukrotnym wylosowaną monetą - etap II.
Etap I
\(\displaystyle{ \Omega = \{ O, R \}}\)
\(\displaystyle{ P(\{O\}) = P(\{R\}) = \frac{1}{2}.}\)
Etap II
\(\displaystyle{ \Omega_{21} = \{ OO, OR, RO, RR \}}\)
\(\displaystyle{ P(\{OO\}) = \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}= \frac{1}{16}.}\)
\(\displaystyle{ P(\{OR\}) = \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}= \frac{3}{16}.}\)
\(\displaystyle{ P(\{RO\}) = \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}= \frac{3}{16}.}\)
\(\displaystyle{ P(\{RR\}) = \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}= \frac{9}{16}.}\)
\(\displaystyle{ \Omega_{22} = \{ OO, OR, RO, RR \}}\)
\(\displaystyle{ P(\{OO\}) = \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}= \frac{9}{16}.}\)
\(\displaystyle{ P(\{OR\}) = \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}= \frac{3}{16}.}\)
\(\displaystyle{ P(\{RO\}) = \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}= \frac{3}{16}.}\)
\(\displaystyle{ P(\{RR\}) = \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}= \frac{1}{16}.}\)
Rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\)
\(\displaystyle{ P(\{X = 0\}) = p_{0} = \frac{1}{2}\cdot \frac{9}{16}+ \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{16}=\frac{10}{32}}\)
\(\displaystyle{ P(\{X = 1\}) = p_{1} = \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{16}+ \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{16}+ \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{16}+ \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{16} = \frac{12}{32}}\)
\(\displaystyle{ P(\{X = 2\}) = p_{2} = \frac{1}{2}\cdot \frac{9}{16}+ \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{16}=\frac{10}{32}.}\)
Wartość oczekiwana zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\)
\(\displaystyle{ E(X) = 0\cdot \frac{10}{32} + 1\cdot \frac{12}{32}+ 2\cdot \frac{10}{32}= \frac{32}{32}=1.}\)
Wariancja zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\)
\(\displaystyle{ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2= 0^2\cdot \frac{10}{32} + 1^2\cdot \frac{12}{32}+ 2^2\cdot \frac{10}{32} - 1^2 = \frac{20}{32}= \frac{5}{8}.}\)
Interpretacja otrzymanych wyników
W wyniku realizacji dwuetapowego doświadczenia losowego należy oczekiwać, że średnia liczba wyrzuconych orłów wynosi \(\displaystyle{ 1}\) i kwadrat odchylenia od tej wartości jest równy \(\displaystyle{ \frac{5}{8}.}\)