Zdarzenia losowe, proste pytania

[xnowy123]

Witajcie. Jako nowa osoba na forum mam pytanie o jedno proste zadanie ze zdarzeń losowych. Nie wiem czy dobrze rozumuję, stąd prośba o pomoc, a sprawa jest banalna chyba.

Zadanie brzmi:

Wyznaczyć przestrzeń zdarzeń elementarnych dla doświadczenia rzeczywistego i podać interpretację zdarzeń elementarnych

a) Mierzymy długość świecenia (aż do przepalenia) żarówek danego typu
b) Mierzymy ile kilometrów przejedzie nowy samochód do pierwszej awarii
c) Mierzymy ile kilometrów przejedzie dany model samochodu na 20 litrach benzyny
d) Mierzymy wzrost i wagę człowieka

Przykład a) mam rozwiązany z ćwiczeń na których byłem. Mianowicie przestrzeń zdarzeń elementarnych \(\displaystyle{ Omega = [0, infty}\)) i \(\displaystyle{ \Omega = \mathbb{R}}\). Ma to sens, bo przestrzeń zdarzeń elementarnych jest od 0 do teoretycznie nieskończoności, czyli przykładowe zdarzenia elementarne to \(\displaystyle{ \{1, 2, 100, 5000\frac23\}}\), zależnie ile minut (albo sekund, jeśli użyjemy SI) będzie świecić żarówka.

Przykładu d) się domyślam, prawdopodobnie \(\displaystyle{ \Omega = [20, 300] \times [60, 250]}\), przyjmując że waga jest w zakresie \(\displaystyle{ 20}\) do \(\displaystyle{ 300}\) kg, a wzrost w zakresie \(\displaystyle{ 60}\) do \(\displaystyle{ 250}\)cm. Przykładowe dwa zdarzenia elementarne to wtedy na przykład \(\displaystyle{ \{(60, 120), (90, 180)\}}\) dla osoby o wadze \(\displaystyle{ 60\,kg}\) i wzroście \(\displaystyle{ 120\,cm}\) albo \(\displaystyle{ 90\,kg}\) i \(\displaystyle{ 180\,cm}\).

Pytanie jednak jak mam podejść do opcji c)? Jak mogę ograniczyć przestrzeń zdarzeń elementarnych do tych występujących do użycia 20 litrów benzyny? To w ogóle można jakoś zapisać matematycznie w definicji przestrzeni zdarzeń losowych, czy to jest podchwytliwe?

I czy rozwiązaniem przykładu b) jest to samo co przykładu a)?

Z góry dziękuję. Zaczynam dopiero statystykę i rachunek prawdopodobieństwa, a niestety orłem nie jestem.

[leg14]

Czemu w b) nie dasz \(\displaystyle{ [0, infty )}\) ?
Co masz na myśli w a) pisząc najpierw, ze omega jest rowne \(\displaystyle{ [0, infty )}\), a pozniej, ze omega jest rowne \(\displaystyle{ \RR}\)?

[xnowy123]

Racja, b) jest praktycznie identyczne co a). Co do tego, że \(\displaystyle{ \Omega = \mathbb{R}}\), to była literówka. Tam zdaje się miało być po prostu, że \(\displaystyle{ \Omega \in \mathbb{R}}\). Przynajmniej tak sobie zanotowałem na ćwiczeniach, zrozumiałem to tak, że w przestrzeni zdarzeń elementarnych może być zarówno \(\displaystyle{ 0, 1, 2}\) jak i \(\displaystyle{ \frac34}\) czy też \(\displaystyle{ \pi}\), a nie wyłącznie \(\displaystyle{ 1, 2, 3, 4}\) etc, tak od 0 do nieskończoności. Najbardziej jednak mnie frasuje ten przykład c)...

[Jan Kraszewski]

Tam zdaje się miało być po prostu, że \(\displaystyle{ \Omega \in \mathbb{R}}\).

No tak akurat na pewno nie miało być. Symbol \(\displaystyle{ \Omega}\) oznacza zbiór zdarzeń elementarnych, a zapis \(\displaystyle{ \Omega \in \mathbb{R}}\) oznacza, że \(\displaystyle{ \Omega}\) jest liczbą rzeczywistą, czyli niedobrze (bo liczba to nie zbiór).

JK

[leg14]

Czemu w c) nie dasz tak samo jak w b)?

[a4karo]

A ja sądzę, że kluczem jest sformułowanie: dla doświadczenia rzeczywistego, które implikuje, że nie spotkamy sie z samochodem zużywającym \(\displaystyle{ 0.0000023 l/km}\) ani ludzi o wzroście 17m, ani samochodów przejeżdżających \(\displaystyle{ 762373248236263 km}\)

[xnowy123]

Rzeczywiście a4karo, w ogóle tego nie zauważyłem. To by sugerowało, że należy po prostu przyjąć realny zakres kilometrów ile auto może przejechać na 20 litrach benzyny, bez nierealnie małego ani nierealnie dużego spalania. Wielkie dzięki!

Jan Kraszewski: dziękuję za poprawienie LaTeX-a, następnym razem zwrócę na niego większą uwagę. Co do tych liczb rzeczywistych, to zapewne coś źle zanotowałem i jest to błąd po mojej stronie.

[a4karo]

To jak już to mamy, to warto zauważyć, że jeżeli za zdarzenie elementarne np w a) przyjmiemy, że żarówka świeciła \(\displaystyle{ 78.73576324573453(482834)}\) godziny, to prawdopodobieństwo każdego z tych zdarzeń będzie zerowe.
W tego typu ćwiczeniach lepiej podzielić interwał rozsądnych wyników na przedziały i za zdarzenie elementarne przyjąć, że wynik wpada do jednego ze skończonej ilości przedziałów.

[xnowy123]

Nie pomyślałem o tym, dzięki.