Odczytywanie dystrybuanty z wykresu

[MaxRebo]

Witam,

chcę nauczyć się odczytywać dystrybuantę zmiennej losowej ciągłej z wykresu. Niestety siedzę nad tym i nie mam pomysłu jak to zrobić, gdzie patrzeć itp. Poniżej link do zdjęcia mojego wykresu:



A oto treść zadania:
Z odcinka \(\displaystyle{ [-3, 5]}\) losujemy liczbę. Niech zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) będzie odległością wybranej liczby od zera. Znaleźć dystrybuantę.
\(\displaystyle{ X(x)}\) to wartość funkcji zmiennej losowej. \(\displaystyle{ X(x) = |x - 0| = |x|}\)

Bardzo proszę o pomoc, będę wdzięczny za intuicyjne wytłumaczenie, bo takie zrozumiem.

[Kordyt]

Zacznijmy od definicji

Otóż dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) możemy zapisać następująco

\(\displaystyle{ F(x)=Pr(X \le x)}\) (zakładam prawostronną ciągłość dystrybuanty)

Tutaj miarą prawdopodobieństwa jest stosunek długości, możemy więc zapisać że

\(\displaystyle{ Pr(X \le x)=\frac{Lx}{L}}\)

gdzie \(\displaystyle{ Lx}\) to długość odcinka wyznaczonych \(\displaystyle{ x}\) , \(\displaystyle{ L}\) długość całkowita odcinka \(\displaystyle{ [-3,5]}\).

Żeby zobrazować to o czym piszę weź sobie ustal jakiś \(\displaystyle{ x}\) np \(\displaystyle{ x=2}\), zaznacz go sobie na pionowej osi i dorysuj poziomą linią przechodzącą przez ten punkt. Punkty przecięcia poziomej linii z wykresem połącz pionowymi liniami z osią \(\displaystyle{ 0X}\).

Jeśli rozumiesz o co chodzi to teraz musisz sobie znaleźć wzór na długość odcinka (odcinków) \(\displaystyle{ Lx}\).

[MaxRebo]

Wychodzi więc, że

\(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ t \in ( - \infty , 0)}\) gdyż poniżej zera na osi \(\displaystyle{ X(x)}\) nie ma żadnego \(\displaystyle{ t}\)

\(\displaystyle{ \frac{2t}{8}}\) dla \(\displaystyle{ t in [0, 3)}\)

\(\displaystyle{ \frac{t + 3}{8}}\) dla \(\displaystyle{ t in [3, 5)}\)

dla \(\displaystyle{ t in [5, + infty )}\) funkcjonuje ten sam wzór co wyżej, tyle że jedynie dla piątki, bo powyżej nie ma żadnych \(\displaystyle{ t.}\)

Więc będzie \(\displaystyle{ \frac{5+3}{8} = 1}\).

Przyznam, że nie wpadłbym na to gdyby nie Twoja pomoc, wielkie dzięki. Myślę, że to co napisałem jest dobrze. Muszę sobie to przećwiczyć na kilku innych przykładach, bo łatwo o jakąś pomyłkę...