Rozkład wykładniczy i geometryczny.

[janusz47]

Bez złośliwości Panie Leq. Co to jest?

[leg14]

Kiedy skomentujesz moje argumenty

[janusz47]

Co to jest ? Pańska nauka mnie jest błędna. \(\displaystyle{ Z =?}\)

Warto nauczyć się tworzenia rozkładów funkcji wektorów losowych metodą podstawienia rozkładu z dystrybuanty.

Odsyłam do książek: A. Papoullisa , M. Rossa czy wspomnianego przeze mnie Durreta, Stizakera.

Proszę o zachowanie większej skromności w swoich wypowiedziach, a przede wszystkim szacunku dla profesorów Durreta i Stizakera z Uniwersytetu Stanford.

[leg14]

Cały czas czekam aż odniesiesz się do moich argumentów

[Jan Kraszewski]

janusz47, zanim będziesz pouczał innych na temat okazywania szacunku i skromności, sam zacznij okazywać innym szacunek. Uparte przekręcanie nicku swojego adwersarza na pewno nie jest tego przykładem.

Nie jest nim także Twój sposób dyskusji. Kilka razy zdarzyło się na tym forum, że podawałeś błędne rozwiązania, a na prośby o odniesienie się do matematycznych zarzutów zasłaniałeś się tytułami książek, do których odsyłałeś oraz pouczałeś dość protekcjonalnym tonem. Nie umiałeś podjąć dyskusji na argumenty matematyczne (bogactwo własnej biblioteczki nie jest takowym).

W tym wątku sytuacja wygląda podobnie. Od razu zaznaczę, że nie wiem, kto ma matematyczną rację. Ale leg14 przedstawił zarzuty dotyczące Twojego rozwiązania oraz - na Twoje życzenie - rozwinął swoje rozumowanie. A z Twojej strony nic poza zasłanianiem się książkami. Jeżeli uważasz, że masz rację, a leg14 się myli, to poświęć trochę czasu i ustosunkuj się merytorycznie do jego zarzutów.

JK

[janusz47]

Zapomina Pan co Panu powiedziałem. Profesorowie są dla mnie autorytetami, a nie 22 letni Leq, któremu wydaje się że zna rachunek prawdopodobieństwa i że może obrażać i pouczać innych tak jak Pan.

[Jan Kraszewski]

Zapomina Pan co Panu powiedziałem. Profesorowie są dla mnie autorytetami,

To świetnie, ale to jeszcze nie oznacza, że rozumie Pan, co te autorytety mówią.

a nie 22 letni Leq,

Nie "Leq", tylko leg14 - znów brak szacunku. A wiek nie ma tu nic do rzeczy - w matematyce to, że ma się kilkadziesiąt lat więcej jeszcze nie znaczy, że wie się więcej.

któremu wydaje się że zna rachunek prawdopodobieństwa

Panu też wydaje się, że zna rachunek prawdopodobieństwa, tylko póki co nie umie Pan tego udowodnić w tym wątku.

i że może obrażać i pouczać innych tak jak Pan.

Jeżeli ktoś obraża się na prośbę adwersarza "Odnieś się do moich argumentów", to trudno.

Watek niestety stracił charakter merytoryczny. Jeżeli janusz47 nie ustosunkuje się merytorycznie do zarzutów leg14, to watek po prostu zamknę.

JK

[janusz47]

Nie mam się do czego odnosić Już napisałem, że przedstawiona metoda leq14 jest zła. Nie uwzględnia metody podstawienia rozkładu z dystrybuanty, pochodzącej od Durreta-Stizakera.

[leg14]

Janusz na temat swojego rozwiązania możesz sobie myśleć co chcesz ,ale stwierdzenie:

Już napisałem, że przedstawiona metoda leq14 jest zła

wymaga arumentów

[janusz47]

Podstawowy argument nie zna Pan metody podstawiania rozkładu j i dlatego nieprawdą jest, wmawianie mi o wartości prawdopodobieństwa zerowego zmiennej losowej Y. Ponadto Pański wzór końcowy nie odpowiada na pytanie jaki rozkład ma zmienna losowa \(\displaystyle{ Z?}\)

[Dasio11]

Warto nauczyć się tworzenia rozkładów funkcji wektorów losowych metodą podstawienia rozkładu z dystrybuanty.

Odsyłam do książek: A. Papoullisa , M. Rossa czy wspomnianego przeze mnie Durreta, Stizakera.

Proszę o zachowanie większej skromności w swoich wypowiedziach, a przede wszystkim szacunku dla profesorów Durreta i Stizakera z Uniwersytetu Stanford.

Szczytem arogancji jest odsyłanie innych do książek, jeśli samemu prezentuje się tak mizerne umiejętności matematyczne. Natomiast wymaganie od innych szacunku wobec autorytetów, którymi próbuje się podeprzeć własną niekompetencję, przytaczając - bez zrozumienia - ich rozwiązania, jest wyjątkowo żenujące, podobnie zresztą jak niezłomne przekonanie o własnej nieomylności pomimo całkowitej niezdolności do podjęcia merytorycznej dyskusji.

\(\displaystyle{ F_{Z}(z) = \Pr(Z < z) = \Pr\left (\frac{X}{Y} < z \right) = \Pr \left(\frac{X}{Y}< z| Y =\left (\frac{1}{2}\right)^{x} \right)\cdot \Pr \left(Y =\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \right) = \\ = \Pr\left( \frac{X}{2^{x}}< z \right) =\Pr\left(\frac{X}{2^{x}}<z | X = e^{-x} \right)\cdot \Pr( X = e^{-x}) = \Pr \left( \frac{e^{-x}}{2^{x}}< z \right)= \\ = \Pr[ (2e)^{-x}< z ], \ \ Z = (2e)^{-x}}\)

Rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z = (2e)^{-x}}\) jest rozkładem ciągłym.

W tym rozwiązaniu jest pełno błędów - zarówno formalnych, jak i rzeczowych.

1. Tak jak wskazał leg14, w rozwiązaniu użyta jest niezdefiniowana liczba \(\displaystyle{ x}\), co kwalifikuje się jako błąd formalny. Przyjęcie, że chodzi o dowolną liczbę naturalną, niewiele pomaga, bo przejście

\(\displaystyle{ \Pr \left( \frac{X}{Y} < z \right) = \Pr \left( \frac{X}{Y}< z \mid Y =\left(\frac{1}{2} \right)^x \right) \cdot \Pr \left( Y = \left( \frac{1}{2} \right)^x \right)}\)

jest, w zależności od \(\displaystyle{ x}\), bezsensowne lub nieprawdziwe. Jeśli \(\displaystyle{ x \neq 0}\), to jest bezsensowne, bo zmienna o rozkładzie geometrycznym przyjmuje z niezerowym prawdopodobieństwem tylko wartości całkowite dodatnie - a więc nie można rozważać prawdopodobieństwa warunkowego pod warunkiem \(\displaystyle{ Y = \left( \frac{1}{2} \right)^x}\), którego prawdopodobieństwo jest zerowe. Jeśli zaś \(\displaystyle{ x = 0}\), to przejście jest nieprawdziwe, bo wtedy prawa strona jest równa \(\displaystyle{ \Pr \left( \frac{X}{Y} < z \ \& \ Y = 1 \right)}\), a więc pominięte jest prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \Pr \left( \frac{X}{Y} < z \ \& \ Y \neq 1 \right)}\), które jest niezerowe.

Poprawnie jest tak, jak napisał leg14:

\(\displaystyle{ \Pr\left (\frac{X}{Y} < z \right) =\sum_{x \in \NN; x > 0}^{} \Pr \left(\frac{X}{Y}< z| Y = x\right)\cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{x}}\)

2. Jeśli \(\displaystyle{ Y = \left( \frac{1}{2} \right)^x}\), to \(\displaystyle{ \frac{X}{Y} = X \cdot 2^x}\), a nie \(\displaystyle{ \frac{X}{2^x}}\).

3. Przejście

\(\displaystyle{ \Pr\left( \frac{X}{2^{x}}< z \right) =\Pr\left(\frac{X}{2^{x}}<z | X = e^{-x} \right)\cdot \Pr( X = e^{-x})}\)

oprócz tego, że zawiera ten sam błąd, co wcześniej, zdaje się świadczyć o niezrozumieniu, czym jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej o rozkładzie ciągłym. Mówiąc z grubsza, można myśleć, że dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) zachodzi \(\displaystyle{ \Pr \left( X = x \right) \sim e^{-x}}\), natomiast rozważanie prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ \Pr \left( X = e^{-x} \right)}\) nie ma w tym kontekście żadnego sensu.

A nawet gdyby jakiś sens miało, to z pewnością błędem pozostałoby użycie tej samej liczby \(\displaystyle{ x}\) co wcześniej, bo nowe jej wystąpienie nie ma ze starym nic wspólnego.

4. Ostatecznie, zapis \(\displaystyle{ Z = (2e)^{-x}}\) znów jest formalnie niepoprawny. Zmienna losowa nie jest ani liczbą rzeczywistą (jeśli przyjąć, że \(\displaystyle{ x}\) jest ustalone), ani funkcją rzeczywistą (jeśli przyjąć \(\displaystyle{ x}\) za zmienną), w szczególności: należy odróżniać zmienną losową od jej gęstości.

Już napisałem, że przedstawiona metoda leq14 jest zła. Nie uwzględnia metody podstawienia rozkładu z dystrybuanty, pochodzącej od Durreta-Stizakera.

Przejrzałem rozwiązanie przytoczonego zadania z książki One Thousand Exercises in Probability. I nie tylko nie widać po nim, aby miało choć najmniejszy związek z błędnym rozwiązaniem janusza47, ale co więcej: samo zadanie znacząco różni się od zadania z tego wątku, wobec czego twierdzę, że zastosowanej w książce metody nie da się użyć w tutejszej sytuacji. W tym kontekście powoływanie się na autorytet twórców rzeczonego zbioru zadań jest, najdelikatniej mówiąc, zupełnie bez pokrycia.

Natomiast dobra wskazówka pojawiła się w drugim poście leg14:

\(\displaystyle{ \PP(Z \le t ) = \sum_{k = 1}^{\infty } \PP(X \le t k) \cdot \frac{1}{2}^{k}}\)

[Bartl1omiej]

\(\displaystyle{ X \sim Exp(1), \ \ Y\sim Geo\left (\frac{1}{2}\right)}\)

\(\displaystyle{ X, \ \ Y}\) - niezależne statystycznie

\(\displaystyle{ f_{Z}(z) = f_{\frac{X}{Y}} (z) = \int_{0}^{\infty}e^{-zy}\left(\frac{1}{2}\right)^{y}|y|dy = \int_{0}^{\infty} e^{-y[z+\ln(2)]}y dy = \\ =\left[ -\frac{e^{-y[z+\ln(2)]}}{z+\ln(2)}\right]_{0}^{\infty} + \frac{1}{z+\ln(2)}\int_{0}^{\infty} e^{-y[z +\ln(2)] } = \frac{1}{[z+\ln(2)]^2}.}\)

[leg14]

Bartlomiej Twoj rozwiazanie jest rowniez niepoprawne - chociazby dlatego, ze sugeruje, ze nośnikiem gęstości Z jest całe R (co jest nieprawda)

[Bartl1omiej]

Nośnikiem gęstości jest \(\displaystyle{ \RR^{+}.}\)

[leg14]

ta Twoja gestosc sie do jedynki nie calkuje ...