Iloczyn zmiennych losowych - jedna dyskretna, druga ciągła.

[Bursztyncio]

Witam,

proszę o pomoc w tym zadaniu. Mam zmienną losową \(\displaystyle{ Z}\) o rozkładzie dyskretnym \(\displaystyle{ P(Z = 0) = P(Z = 1) = \frac{1}{2}}\) oraz zmienną losową ciągłą \(\displaystyle{ Y}\) o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ \left(0, 1 \right)}\). Zmienne \(\displaystyle{ Z,Y}\) są niezależne. Jak znaleźć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X = Y \cdot Z}\). Pomyślałem, żeby rozpisać dystrybuantę - standardowo.

\(\displaystyle{ F_X(t) = P(X<=t) = P(YZ <=t) = P((Y <= t \wedge Z = 1) \vee (0 <=t \wedge Z =0))}\), jednak po dalszym rozpisaniu nie wiem co zrobić z \(\displaystyle{ P(t>=0)}\). Gdy potraktuję to jako \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), to \(\displaystyle{ F_X(t)}\) nie będzie dystrybuantą :/

Proszę o pomoc

[janusz47]

Zmienimy literki na:

\(\displaystyle{ Z = X\cdot Y}\)

\(\displaystyle{ X\sim \mathcal{D}\left(0, \frac{1}{2}\right), \ \ Y \sim \mathcal{U}(0,1).}\)


\(\displaystyle{ F_{Z}(z) = Pr( Z< z) = Pr(XY < z) = Pr(XY <z |X=0)P(X=0)+ \\ + P(XY<z|X=1)P(X=1) = Pr(0Y<z)\cdot \frac{1}{2}+ Pr(1\cdot Y<z)\cdot \frac{1}{2}=\\= \frac{1}{2}Pr(Y< z) = \frac{1}{2}\cdot \frac{z-1}{1- 0}= \frac{1}{2}z = \frac{1}{2}x\cdot y}\)

[leg14]

DLaczego Janusz twierdzisz, że
\(\displaystyle{ Pr(0Y<z)\cdot \frac{1}{2} = 0}\) dla wszytskich z?

[janusz47]

Dzięki za zwrócenie uwagi.

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} Pr( 0\cdot Y< z) = \frac{1}{2}Pr(z >0) =\frac{1}{2}( 1 - Pr(z\leq 0)) = \frac{1}{2}(1- 0)= \frac{1}{2}.}\)

Rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z}\)

\(\displaystyle{ F_{Z}(z) = \frac{1}{2}( 1+z) = \frac{1}{2}(1 +x\cdot y)}\)