W urnie znajduje się 25 kul: 10 białych, 9 czarnych i 6 czerwonych. wyjęto losowo jedna kule i nie oglądając jej, odłożono na bok.
a)oblicz prawdopodobieństwo, ze za drugim razem wylosowano kule biała.
b) jeśli za drugim razem wylosowana kule biała,jakie jest prawdopodobieństwo,ze w pierwszym losowaniu wyjęto kule czerwona?
urny z kulami
-
skinnyman123
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 19 gru 2018, o 18:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
urny z kulami
Doświadczenie losowe wynikające z treści zadania jest dwuetapowe:
- wylosowanie jednej kuli z urny zawierającej \(\displaystyle{ 25}\) kul i nie oglądając jej, odłożenie na bok - etap I
- wylosowanie drugiej kuli z urny - etap II
Zbudujemy model tego dwuetapowego doświadczenia losowego.
Oznaczenie zdarzeń:
\(\displaystyle{ W}\) -" wylosowano kulę białą"
\(\displaystyle{ B}\) - " wylosowano kulę czarną"
\(\displaystyle{ R}\) -" wylosowano kulę czerwoną"
Zakładamy, że losowanie każdej kuli jest jednakowo możliwe.
Etap I
\(\displaystyle{ \Omega_{I} = \{10W, \ \ 9B, \ \ 6R \}}\)
\(\displaystyle{ P(W) = \frac{10}{25}, \ \ P(B) = \frac{9}{25}, \ \ P(R) = \frac{6}{25}.}\)
Etap II
\(\displaystyle{ \Omega_{II} = \Omega'_{II} \cup \Omega''_{II} \cup \Omega'''_{II}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \Omega'_{II}= \{ 9W, \ \ 9B, \ \ 6R \},}\)
\(\displaystyle{ \Omega''_{II}= \{10W, \ \ 8B, \ \ 6R \},}\)
\(\displaystyle{ \Omega'''_{II}=\{ 10W, \ \ 9B, \ \ 5R \}}\)
\(\displaystyle{ P'(W)= \frac{9}{24}, \ \ P'(B) = \frac{9}{24}, \ \ P'(R) = \frac{6}{24}.}\)
\(\displaystyle{ P''(W)= \frac{10}{24}, \ \ P''(B) = \frac{8}{24}, \ \ P''(R) = \frac{6}{24}.}\)
\(\displaystyle{ P'''(W)= \frac{10}{24}, \ \ P'''(B) = \frac{9}{24}, \ \ P'''(R) = \frac{5}{24}.}\)
Model łączny etapu I i II
\(\displaystyle{ \Omega = \Omega_{I}\times \Omega_{II}}\)
a)
\(\displaystyle{ A}\) zdarzenie - "za drugim razem wylosowano kulę białą".
Prawdopodobieństwo całkowite (zupełne)
\(\displaystyle{ P(A) = P(W)\cdot P'(W) + P(B)\cdot P''(W) + P(R)\cdot P'''(W) = \frac{10}{25}\cdot \frac{9}{24} + \frac{9}{25}\cdot \frac{8}{24}+ \frac{6}{25}\cdot \frac{9}{24}}\)
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{90}{600}+ \frac{72}{600}+ \frac{54}{600} = \frac{216}{600}= \frac{36}{100} .}\)
b)
Prawdopodobieństwo warunkowe:
\(\displaystyle{ P(R|A) = \frac{P(R \cap A)}{P(A)}}\)
\(\displaystyle{ P(R|A) = \frac{\frac{6}{25}\cdot \frac{9}{24}}{ \frac{36}{100}} =\frac{1}{4}.}\)
Interpretacja otrzymanych wartości prawdopodobieństw
a)
W wyniku realizacji doświadczenia losowego można oczekiwać, że w \(\displaystyle{ 36\%}\) jego wyników -za drugim razem wylosujemy kulę białą.
b)
W \(\displaystyle{ 25\%}\) ogólnej liczby losowań, jeżeli za drugim razem wylosowaliśmy kulę białą, to w pierwszym losowaniu wylosowaną kulą, była kula biała.
- wylosowanie jednej kuli z urny zawierającej \(\displaystyle{ 25}\) kul i nie oglądając jej, odłożenie na bok - etap I
- wylosowanie drugiej kuli z urny - etap II
Zbudujemy model tego dwuetapowego doświadczenia losowego.
Oznaczenie zdarzeń:
\(\displaystyle{ W}\) -" wylosowano kulę białą"
\(\displaystyle{ B}\) - " wylosowano kulę czarną"
\(\displaystyle{ R}\) -" wylosowano kulę czerwoną"
Zakładamy, że losowanie każdej kuli jest jednakowo możliwe.
Etap I
\(\displaystyle{ \Omega_{I} = \{10W, \ \ 9B, \ \ 6R \}}\)
\(\displaystyle{ P(W) = \frac{10}{25}, \ \ P(B) = \frac{9}{25}, \ \ P(R) = \frac{6}{25}.}\)
Etap II
\(\displaystyle{ \Omega_{II} = \Omega'_{II} \cup \Omega''_{II} \cup \Omega'''_{II}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \Omega'_{II}= \{ 9W, \ \ 9B, \ \ 6R \},}\)
\(\displaystyle{ \Omega''_{II}= \{10W, \ \ 8B, \ \ 6R \},}\)
\(\displaystyle{ \Omega'''_{II}=\{ 10W, \ \ 9B, \ \ 5R \}}\)
\(\displaystyle{ P'(W)= \frac{9}{24}, \ \ P'(B) = \frac{9}{24}, \ \ P'(R) = \frac{6}{24}.}\)
\(\displaystyle{ P''(W)= \frac{10}{24}, \ \ P''(B) = \frac{8}{24}, \ \ P''(R) = \frac{6}{24}.}\)
\(\displaystyle{ P'''(W)= \frac{10}{24}, \ \ P'''(B) = \frac{9}{24}, \ \ P'''(R) = \frac{5}{24}.}\)
Model łączny etapu I i II
\(\displaystyle{ \Omega = \Omega_{I}\times \Omega_{II}}\)
a)
\(\displaystyle{ A}\) zdarzenie - "za drugim razem wylosowano kulę białą".
Prawdopodobieństwo całkowite (zupełne)
\(\displaystyle{ P(A) = P(W)\cdot P'(W) + P(B)\cdot P''(W) + P(R)\cdot P'''(W) = \frac{10}{25}\cdot \frac{9}{24} + \frac{9}{25}\cdot \frac{8}{24}+ \frac{6}{25}\cdot \frac{9}{24}}\)
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{90}{600}+ \frac{72}{600}+ \frac{54}{600} = \frac{216}{600}= \frac{36}{100} .}\)
b)
Prawdopodobieństwo warunkowe:
\(\displaystyle{ P(R|A) = \frac{P(R \cap A)}{P(A)}}\)
\(\displaystyle{ P(R|A) = \frac{\frac{6}{25}\cdot \frac{9}{24}}{ \frac{36}{100}} =\frac{1}{4}.}\)
Interpretacja otrzymanych wartości prawdopodobieństw
a)
W wyniku realizacji doświadczenia losowego można oczekiwać, że w \(\displaystyle{ 36\%}\) jego wyników -za drugim razem wylosujemy kulę białą.
b)
W \(\displaystyle{ 25\%}\) ogólnej liczby losowań, jeżeli za drugim razem wylosowaliśmy kulę białą, to w pierwszym losowaniu wylosowaną kulą, była kula biała.
Ostatnio zmieniony 3 lut 2019, o 00:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.