Centralne twierdzenie graniczne

[kasi654321]

Proszę o pomoc w tym zadaniu. Pilne
Niech \(\displaystyle{ X_{1} , ..., X_{n}}\) będzie próbą z rozkładu prawdopodobieństwa z gęstością \(\displaystyle{ p_{\Theta}(x) = \Theta(1 + x)^{-(1+\Theta)}}\) dla \(\displaystyle{ x > 0}\) oraz \(\displaystyle{ 0}\) w przeciwnym wypadku, gdzie \(\displaystyle{ \Theta > 1}\) jest nieznanym parametrem.
(a) Wyznacz metodę estymatora momentów dla parametru \(\displaystyle{ \Theta}\).
(b) Użyj metodę delta i centralne twierdzenie graniczne, by wyznaczyć asymptotyczny przedział ufności na poziomie ufności \(\displaystyle{ 1 - \alpha}\) dla tego estymatora.

[janusz47]

a)
Proszę obliczyć pierwszy moment zwykły (wartość oczekiwaną)

\(\displaystyle{ E(X) = \int_{0}^{\infty}x\cdot \theta (1+x)^{-(1+\theta)}dx =...}\)

Całkowanie metodą przez części.

[gerczix]

Obliczyłem wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ E(X) = \frac{1}{1+ \theta }}\). Jak powinienem zastosować metodę delta i CTG do wyznaczenia asymptotycznego przedział ufności?