Wartość oczekiwana wyszła ujemna

[Mamed78]

[Witam, liczę sobie zadanie ze zmienną losową ciągłą, wyszła mi wartość oczekiwana ujemna i nie wiem czy ja popełniłem błąd ze znakami czy rzeczywiście wyszła ujemna. Ktoś pomoże?

\(\displaystyle{ egin{cases} left( x-1
ight) ^{2}&mbox{dla }x in (0,1) \ C left( 1+x
ight) ^{2} &mbox{dla } x in (-1,0) \ 0 &mbox{w. p. p.}end{cases}}\)

Z tego wyliczyłem \(\displaystyle{ C = 2}\). Następnie \(\displaystyle{ EX}\)

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{0} (2x + 4x ^{2} + 2x ^{3})dx + \int_{0}^{1} (x ^{3} - 2x ^{2} + x)dx.}\)

I to mi wyszło \(\displaystyle{ - \frac{1}{12}}\) .

Gdzieś znaki pomyliłem czy to jest możliwe?

[Kordyt]

Z twoich zapisów można się jedynie domyślać o co chodzi.
Te warunki z parametrem to jest gęstość rozkładu ?

[Mamed78]

Tak, to jest gęstość rozkładu f(x)

[Kordyt]

Gdzieś znaki pomyliłem czy to jest możliwe?

Możliwe. Pokaż swoje rachunki.

[Mamed78]

\(\displaystyle{ = \left[ x ^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{4} \right]\Bigg|_{-1}^{0} + \left[ \frac{1}{4}x ^{4} - \frac{2}{3}x ^{3} + \frac{1}{2}x ^{2} \right] \Bigg|_{0}^{1} = 0 - (1- \frac{4}{3} + \frac{1}{2}) + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} =\\= - 1 + \frac{4}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = - \frac{12}{12} + \frac{16}{12} - \frac{6}{12} + \frac{3}{12} - \frac{8}{12} + \frac{6}{12} = - \frac{1}{12}}\)

[a4karo]

Jak ma być ciągła to \(\displaystyle{ C}\) jest źle policzone

[Mamed78]

Hmm, C policzyłem w ten sposób

\(\displaystyle{ = C \int_{-1}^{0} \left( 1+2x+x ^{2} \right) dx + \int_{0}^{1} \left( x ^{2}-2x+1 \right) dx = C \left[ x+x ^{2}+ \frac{1}{3}x ^{2} \right] \Bigg|_{-1}^{0} + \left[ \frac{1}{3}x ^{3}-x ^{2}+x \right] \Bigg|_{0}^{1} = C \left( 0 - \left( -1+1- \frac{1}{3} \right) \right) + \frac{1}{3}-1+1 = \frac{1}{3}C + \frac{1}{3} = 1 \rightarrow C = 2}\)

[Kordyt]

Dla ciaglosci \(\displaystyle{ C=1}\)
Ale wtedy ta gęstość nie będzie gęstością xD
I wartosc oczekisana na pewno wyjdzie ujemna bo rozklad jest bardziej "skoncentrowany na liczbach ujemnych".

[Mamed78]

Treść zadania jest taka:

Niech zmienna X będzie zmienną losową ciągłą gęstości danej wzorem

\(\displaystyle{ f(x) = j.w.}\)

Wyznaczyć stałą C oraz obliczyć wartość przeciętną zmiennej losowej X oraz jej wariancję.

Wyznaczyć funkcję dystrybuanty i wykorzystując dystrybuantę obliczyć prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P (X>1), P(-3<X<0), P(1<X<5)}\)

Byłbyś w stanie mi rozpisać rachunek jak wyliczyłeś \(\displaystyle{ C = 1}\)? Bo mi nie chce wyjść inaczej aniżeli 2

[leg14]

Dobrze jest
a4karo pomylil ciaglosc gestosci z ciagloscia zmiennej losowej

[Mamed78]

Czyli \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ EX}\) wyszło mi dobrze? Znaczy wartość oczekiwana może wyjść ujemna?

[leg14]

Na pewno C= 2 i na pewno wartsc oczekiwana jest ujemna

[Mamed78]

Dobra jak już napisałem całą treść zadania to spytam jeszcze o prawdopodobieństwo, ponieważ \(\displaystyle{ P(-3<X<0)}\) wyszło mi \(\displaystyle{ 6}\) i zastanawiam się co tu poszło nie tak

\(\displaystyle{ P(-3<X<0) = \int_{-3}^{0} (2+4x+2x ^{2})dx = \left[ 2x+2x ^{2}+ \frac{2}{3}x ^{3} \right] \Bigg|_{-3}^{0}=\\ = 0 - (-6+18-18) = 6}\)


Co ja tu zrobiłem nie tak?

[Benny01]

Dla \(\displaystyle{ x \le -1}\) gęstość jest równa \(\displaystyle{ 0}\), a Ty tego nie uwzględniłeś w liczeniu całki.

[Mamed78]

Czyli powinno być tak?


\(\displaystyle{ P(-3<X<0) = \int_{-3}^{-1} 0dx + \int_{-1}^{0} (2+4x+2x ^{2})dx = \left[ 2x+2x ^{2}+ \frac{2}{3}x ^{3} \right] \Bigg|_{-1}^{0}=\\ = 0 - (-2+2- \frac{2}{3}) = \frac{2}{3}}\)


Aby skończyć to zadanie to:

\(\displaystyle{ P(X>1) = 1}\)

\(\displaystyle{ P(1 \le X <5)}\) - jakaś podpowiedź?