Cześć proszę serdecznie o krótkie "doedukowanie" mnie w zakresie wyznaczania splotu funkcji. Nie wiem do końca jak wyznaczać odpowiednie przedziały na całce. Mamy:
\(\displaystyle{ X,Y}\) - zm. niezależne, o rozkładach jednostajnych na odcinkach \(\displaystyle{ [0,1],[0,2]}\) odpowiednio. Wyznaczyć gęstość rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ X+Y}\)
\(\displaystyle{ \\
X+Y = Z,}\) ze wzoru: \(\displaystyle{ g _{x+y}(x+y) = \int_{- \infty }^{ \infty }g _{x} (z-y)g _{y}(y) \mbox{d}y = \int_{a}^{b}1 \times \frac{1}{2} \mbox{d}y}\),
\(\displaystyle{ 1, \frac{1}{2}}\) pochodzą z f-cji gęstości \(\displaystyle{ X,Y}\); jak jednak wyznacza się ten odpowiedni przedział (tj. a i b)?
Splot funkcji gęstości
-
kolegasafeta
- Użytkownik
- Posty: 209
- Rejestracja: 26 lis 2009, o 23:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 8 razy
Re: Splot funkcji gęstości
Po pierwsze warto zauważyć (co pomaga w znalezieniu rozwiązania), że suma zmiennych przyjmuje wartości od zera do trzech, co więcej najbardziej prawdopodobne (największa gęstość) jest dla wartości od jeden do dwóch. Gęstość powinna wyjść ciągła (jeżeli nie, znaczy to, że rozwiązanie jest błędne).
Od strony technicznej, pomaga wprawa w użyciu funkcji charakterystycznych (przyjmujących wartości jeden na określonym przedziale i zero poza nim).
Korzystając z tego, że gęstość sumy zmiennych jest splotem dostajemy
\(\displaystyle{ f(Z) = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \mathbbm{1}_{[0,1]}(z-y) \cdot \mathbbm{1}_{[0,2]} (y) dy = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \mathbbm{1}_{[z-1,z]}(y) \cdot \mathbbm{1}_{[0,2]}(y)dy =
\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{2}z \hbox{ dla } z \in (0,1]
\\
\frac{1}{2} \hbox{ dla } z \in (1,2]
\\
\frac{1}{2}(2-(z-1)) \hbox{ dla } z \in (2,3]
\end{array}}\)
W ostatniej równości chodzi o to, żeliczymy długość przedziału po którym całkujemy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), jest ona odpowiednio równa
1) \(\displaystyle{ (z-1) - 0}\)
2) \(\displaystyle{ z - (z-1)}\)
3) \(\displaystyle{ 2 - (z-1)}\)
w zależności od przedziału.
Jak narysujemy gęstość, to wyjdzie nam "domek" zaczynający się w zerze i kończący w 3, czyli ciągłą gęstość, która można sprawdzić, że całkuje się do jedynki.
PS Późna odpowiedź, ale może lepiej późno niż wcale
Od strony technicznej, pomaga wprawa w użyciu funkcji charakterystycznych (przyjmujących wartości jeden na określonym przedziale i zero poza nim).
Korzystając z tego, że gęstość sumy zmiennych jest splotem dostajemy
\(\displaystyle{ f(Z) = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \mathbbm{1}_{[0,1]}(z-y) \cdot \mathbbm{1}_{[0,2]} (y) dy = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \mathbbm{1}_{[z-1,z]}(y) \cdot \mathbbm{1}_{[0,2]}(y)dy =
\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{2}z \hbox{ dla } z \in (0,1]
\\
\frac{1}{2} \hbox{ dla } z \in (1,2]
\\
\frac{1}{2}(2-(z-1)) \hbox{ dla } z \in (2,3]
\end{array}}\)
W ostatniej równości chodzi o to, żeliczymy długość przedziału po którym całkujemy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), jest ona odpowiednio równa
1) \(\displaystyle{ (z-1) - 0}\)
2) \(\displaystyle{ z - (z-1)}\)
3) \(\displaystyle{ 2 - (z-1)}\)
w zależności od przedziału.
Jak narysujemy gęstość, to wyjdzie nam "domek" zaczynający się w zerze i kończący w 3, czyli ciągłą gęstość, która można sprawdzić, że całkuje się do jedynki.
PS Późna odpowiedź, ale może lepiej późno niż wcale