Wzór Bayesa i prawdopodobieństwo warunkowe

[piotrekdoro]

Potrzebuję pomocy w zrozumieniu rozwiązania poniższego zadania. Wiem, że jest to bardzo podstawowe zadanie na prawdopodobieństwo warunkowe i twierdzenie Bayesa, ale mimo dwóch dni spędzonych na próbach zrozumienia o co chodzi w tych zagadnieniach nie udało mi się ruszyć nawet o krok.

Treść:
10% populacji jest chora. Badanie daje pozytywny wynik u 65% chorych i negatywny u 85% zdrowych. Oblicz:
a) prawdopodobieństwo prawidłowej diagnozy

Rozpisuję powyższą sytuację w postaci drzewka:

\(\displaystyle{ {\white {xxxxxxxxxxx}}\) 0,1 | 0,9
\(\displaystyle{ {\white {xxxxxx}}\) 0,65 | 0,35 | 0,15 | 0,85
\(\displaystyle{ {\white {xxxxxxx}}\) H1\(\displaystyle{ {\white {xx}}\) H2\(\displaystyle{ {\white {xx}}\) H3\(\displaystyle{ {\white {xx}}\) H4

Zdarzenie A - prawidłowa diagnoza

\(\displaystyle{ P(A)=P(A|H1)P(H1)+P(A|H4)P(H4)}\)

W tym momencie nie mogę zrozumieć co oznaczają poszczególne oznaczenia w powyższym wzorze. Wiem, że mnożenie jest przemienne, i po prostu muszę pomnożyć prawdopodobieństwa w każdej z dwóch gałęzi, a następnie je do siebie dodać, ale nie wiem co w powyższym wzorze jest czym.

Według odpowiedzi, którą mam zapisaną w notatkach:
\(\displaystyle{ P(A|H1)=0,65}\); \(\displaystyle{ P(H1)=0,1}\); \(\displaystyle{ P(A|H4)=0,85}\); \(\displaystyle{ P(H4)=0,9}\)

Mój problem polega na tym, że nie rozumiem czym jest zdarzenie H1 oraz dlaczego jego prawdopodobieństwo jest równe 0,1 a nie 0,65. Taki sam problem mam z H4. Jak mam przeczytać P(A|H1)? Prawdopodobieństwo, prawidłowej diagnozy pod warunkiem, że... niestety nie wiem jak słownie wyrazić H1

b) prawdopodobieństwo, że pacjent z pozytywnym wynikiem badania jest rzeczywiście chory.

Zapisuję twierdzenie Bayesa:

\(\displaystyle{ P(H1|B)=\frac{P(B|H1)P(H1)}{P(B)}}\)

Tutaj nie wiem nawet czym jest zdarzenie B. Teoretycznie powinienem obliczyć prawdopodobieństwo, że pacjent jest chory pod warunkiem, że ma on wynik pozytywny, ale tutaj znowóż problem stanowi to, że nie wiem jak przeczytać H1.

[janusz47]

Z Twojego postu wynika, że nie rozumiesz konstrukcji drzewka, która jest zła.
Prawdopodobieństwa drugiego poziomu są prawdopodobieństwami warunkowymi.
Prawdopodobieństwa ostatniego poziomu (prawdopodobieństwa iloczynów zdarzeń) są iloczynami prawdopodobieństw zdarzeń najwyższego poziomu i prawdopodobieństw warunkowych zdarzeń poziomu drugiego.

Z tej konstrukcji drzewa probabilistycznego i definicji prawdopodobieństwa warunkowego, wynika wzór na prawdopodobieństwo całkowite (zupełne) i wzór Thomasa Bayesa na prawdopodobieństwa "a priori" i
" a posterori".

[piotrekdoro]

Zdecydowanie nie rozumiem konstrukcji drzewka. Który poziom jest poziomem pierwszym, drugim i ostatnim?

"Prawdopodobieństwa ostatniego poziomu (prawdopodobieństwa iloczynów zdarzeń) są iloczynami prawdopodobieństw zdarzeń najwyższego poziomu i prawdopodobieństw warunkowych zdarzeń poziomu drugiego."
czyli:
\(\displaystyle{ P(A \cap H1)=P(A)P(H1|B)}\)

Dalej nie rozumiem dlaczego P(A) i P(A|H1) mają takie wartości a nie inne. Czy ktoś byłby polecić jakieś dobre źródło informacji (książkę, artykuł, playlistę na youtubie), gdzie mógłbym się dowiedzieć o co w tym wszystkim chodzi, bo obawiam się że prawdopodobieństwo warunkowe jest poza moimi mentalnymi zdolnościami.

[janusz47]

Lech Tadeusz Kubik RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych. Wydanie III poprawione. PWN Warszawa 1986.

[kerajs]

Przychylam się do prośby autora tematu.

Zdarzenie A - prawidłowa diagnoza
\(\displaystyle{ P(A)=P(A|H1)P(H1)+P(A|H4)P(H4)}\)
W tym momencie nie mogę zrozumieć co oznaczają poszczególne oznaczenia w powyższym wzorze. (...) ale nie wiem co w powyższym wzorze jest czym.(...)
\(\displaystyle{ P(H1|B)=\frac{P(B|H1)P(H1)}{P(B)}}\)
Tutaj nie wiem nawet czym jest zdarzenie B. Teoretycznie powinienem obliczyć prawdopodobieństwo, że pacjent jest chory pod warunkiem, że ma on wynik pozytywny, ale tutaj znowóż problem stanowi to, że nie wiem jak przeczytać H1.

Także chciałbym się dowiedzieć jak przeczytać zdarzenia w powyższych wzorach.

[janusz47]

Doświadczenie losowe polega na:

- losowym badaniu populacji osób na pewną chorobę - etap I

- wykonywaniu próby na tą chorobę z tej populacji osób chorych i zdrowych - etap II

Oznaczenia zdarzeń:

\(\displaystyle{ C}\) - " badana osoba jest chora"

\(\displaystyle{ Z}\) -" badana osoba jest zdrowa"

\(\displaystyle{ W_{+}}\)- " wynik próby pozytywny"

\(\displaystyle{ W_{-}}\) -" wynik próby negatywny".

Model etapu I

\(\displaystyle{ \Omega_{I} = \{ C, Z \}.}\)

\(\displaystyle{ Pr(C) = 0,1, \ \ Pr(Z) = 0,9.}\)

Model etapu II

\(\displaystyle{ \Omega_{II} = \{ (C, W_{+}), (Z, W_{+}), (C, W_{-}), (Z, W_{-})\}.}\)

\(\displaystyle{ Pr((C, W_{+})) = Pr(C)\cdot Pr(W_{+}|C) = 0,1\cdot 0,65 = 0,065.}\)

\(\displaystyle{ Pr((C, W_{-})) = Pr(C)\cdot Pr(W_{-}|C) = 0,1\cdot 0,35 = 0,035.}\)

\(\displaystyle{ Pr((Z, W_{+})) = Pr(Z)\cdot Pr(W_{+}|Z) = 0,9\cdot 0,15 = 0,135.}\)

\(\displaystyle{ Pr((Z, W_{-})) = Pr(Z)\cdot Pr(W_{-}|Z) = 0,9\cdot 0,85 = 0,765.}\)

a)
\(\displaystyle{ A}\) - " postawiono prawidłową diagnozę"

Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite (zupełne)

\(\displaystyle{ Pr(A) = Pr(C)\cdot Pr(W_{+}|C) + Pr(Z)\cdot Pr(W_{-}|Z).}\)

\(\displaystyle{ Pr(A) = 0,065 + 0,765 = 0,830.}\)

b)
Ze wzoru Thomasa Bayesa:

\(\displaystyle{ Pr(W_{+}|C) = \frac{Pr(C)\cdot Pr(W_{+}|C)}{Pr(C)\cdot Pr(W_{+}|C)+ Pr(C)\cdot Pr(W_{-}|C)}.}\)

\(\displaystyle{ Pr(W_{+}|C) = \frac{0,065}{0,065+0,035}= 0,650.}\)

Interpretacja obliczonych wartości prawdopodobieństw
a)
W wyniku realizacji dwu etapowego doświadczenia losowego można oczekiwać, że \(\displaystyle{ 83\%}\) badanym osobom postawiono diagnozę prawidłową.
b)
Realizując dwu etapowe doświadczenie losowe, należy spodziewać się, że w \(\displaystyle{ 65\%}\) jego wyników, jeśli stwierdzono, że pacjent jest chory, to jego wynik próby był pozytywny.

[kerajs]

Oj, janusz47, rozwiązanie ani przez moment nie było meritum tematu.

Chodziło wyłącznie o to, jak sensownie przeczytać zdarzenia użyte w podanym przez autora wątku (i cytowane w moim poscie) rozwiązaniu zadania.