Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie kołem o promieniu \(\displaystyle{ R}\). Definiujemy zmienną losową \(\displaystyle{ X}\) jako odległość losowo wybranego punktu koła \(\displaystyle{ K}\) od jego środka. Wyznaczyć dystrybuantę i funkcję gęstości zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\).
Zacząłem tak i nie wiem czy dobrze:
\(\displaystyle{ A = \left\{ \left( x,y\right): x \in \left( -R, R\right) \wedge y \in \left( - \sqrt{R^{2}-x^2}, \sqrt{R^{2}-x^2} \right) \right\}}\)
\(\displaystyle{ F_{K}\left( x, y\right) = \begin{cases} \frac{x^{2}+y^{2}}{R^{2}}, \left( x, y\right) \in A \\ 1, \left( x, y\right) \notin A \end{cases}}\)
Jeśli nawet dobrze, to nie mam pojęcia jak wyznaczyć funkcję gęstości takiej dwuwymiarowej dystrybuanty. Proszę o sprawdzenie (i poprawienie) oraz pomoc w jaki sposób szukać funkcji gęstości.