Prawdopodobieństwa - zmienne losowe

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
marcin0248
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 1 lut 2018, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lubelskie
Podziękował: 1 raz

Prawdopodobieństwa - zmienne losowe

Post autor: marcin0248 »

Mam kilka zadań do rozwiązania. Nie liczę na ich rozwiązanie, a jedynie na jakieś wskazówki jak się za to zabrać.

1. Rzucamy 3 razy monetą. Zmienna losowa \(\displaystyle{ X_{i}}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0}\), gdy w i-tym rzucie wypadł orzeł i \(\displaystyle{ 1}\), gdy w i-tym rzucie wypadła reszka, \(\displaystyle{ i=1, 2, 3}\). Niech \(\displaystyle{ X=X_{1}+X_{2}+X_{3}}\). Dla zmiennych losowych \(\displaystyle{ X_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ X}\) wyznacz ich rozkład, dystrybuantę, wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe.

2. Wykaż, że jeżeli ciągła zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) spełnia warunek \(\displaystyle{ F(0)=0}\), to \(\displaystyle{ EX= \int_{0}^{ \infty }s(x) dx}\), gdzie \(\displaystyle{ s(x)=P(X>x)}\) jest funkcją przeżycia zmiennej losowej X.

3. Naszkicuj wykres gęstości zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ N(2; 0,5)}\).

4. Centrum Badania Opinii Konsumentów, na zlecenie koncernu \(\displaystyle{ X}\) bada, do ilu osób dotarła reklama nowego produktu \(\displaystyle{ P}\). Ile osób należy zapytać, czy spotkało się z reklamą produktu \(\displaystyle{ P}\), aby z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 96%}\) wyznaczona w badaniu frakcja osób, które spotkały się z reklamą produktu \(\displaystyle{ P}\) różniła się od rzeczywistej nie więcej niż o \(\displaystyle{ 2%}\)? Jak zmieni się wynik, jeśli zażądamy mniejszej dokładności \(\displaystyle{ 5%}\) i niższego poziomu ufności \(\displaystyle{ 95%}\)?

5. Na podstawie losowej próby szacujemy procent dorosłych osób, które są praworęczne. Ile osób musi liczyć próba, jeżeli błąd badania ma być mniejszy od \(\displaystyle{ 0,01}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,90}\)?

6. Rzucamy 10000 razy kostką do gry. Oszacuj prawdopodobieństwo, że liczba uzyskanych szóstek będzie się różnić od 2000 nie więcej niż 100.

7. Rzucamy 2000 razy kostką do gry.
a) oszacuj prawdopodobieństwo, że suma uzyskanych oczek jest przedziale \(\displaystyle{ [5250, 5350]}\)
b) wyznacz przedział symetryczny względem średniej, w którym z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,99}\) będzie zawarta łączna liczba oczek
c) ile rzutów należy wykonać, aby z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,97}\) uzyskana średnia liczba oczek była zawarta w przedziale \(\displaystyle{ [3,4; 3,6]}\)?

8. Ubezpieczyciel pobiera od klienta składkę 40 zł miesięcznie, a w zamian klient dostaje zwrot kosztów leczenia. Prawdopodobieństwo, że w danym miesiącu klient otrzyma wypłatę w wysokości 500, 1000, 4000 zł wynosi odpowiednio \(\displaystyle{ 0,02; 0,01; 0,0025}\). Towarzystwo zawarło 1000 takich umów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w danym miesiącu towarzystwo zanotuje
a) zysk
b) stratę w wysokości co najmniej 1000 zł
c) przy jakiej minimalnie liczbie klientów prawdopodobieństwo, że towarzystwo w danym miesiącu poniesie stratę jest mniejsze od \(\displaystyle{ 0,05}\)?

9. W windzie wisi tabliczka o treści "6 osób lub 500 kg". Jakie jest prawdopodobieństwo, że ciężar 6 osób przekroczy 500 kg, jeśli ciężar pojedynczej osoby ma rozkład normalny \(\displaystyle{ N(75 kg; 10 kg)}\)?

10. \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi i \(\displaystyle{ S=X+Y}\). Wyznacz gęstość rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ S}\), jeśli:
a) \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład normalny \(\displaystyle{ N(15, 4)}\), a \(\displaystyle{ Y}\) rozkład normalny \(\displaystyle{ N(-15, 4)}\)
b) \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) mają rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ [0, 3]}\)
c) \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) mają rozkład wykładniczy, \(\displaystyle{ X}\) z parametrem \(\displaystyle{ \lambda = 2}\), a \(\displaystyle{ Y}\) z \(\displaystyle{ \lambda = 6}\)

11. Zmienne losowe \(\displaystyle{ X, Y}\) i \(\displaystyle{ Z}\) są niezależne i mają ten sam rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ [0, 1]}\). Wyznacz gęstość rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ S=X+Y+Z}\), wzór i rysunek.
ODPOWIEDZ