Mam ogromny problem z dwoma zadaniami:
1. Z tali \(\displaystyle{ 52}\) kart losujemy jednocześnie dwie karty. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie będą asami, jeśli wiadomo, że żadna z nich nie jest damą.
2. Z tali \(\displaystyle{ 52}\) kart losujemy jednocześnie cztery karty. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród nich są dwa króle, jeśli wiadomo, że jest wśród nich co najmniej jeden as.
Z tego co wiem to mechanizm rozwiązania jest podobny. Mógłbym prosić o wytłumaczenie tego krok po kroku? Jak tu się w ogóle zastosowuje symbol Newtona? Mam trochę zaległości, więc błagam o szczegółowe wytłumaczenie, jest to dla mnie naprawdę bardzo ważne i zależy mi na czasie
prawdopodobieństwo warunkowe
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: prawdopodobieństwo warunkowe
Zadanie 1
Doświadczenie losowe polega na jednoczesnym losowaniu dwóch kart z talii zawierającej \(\displaystyle{ 52}\) karty.
Oznaczenie zdarzeń:
\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie "obie karty będą asami".
\(\displaystyle{ B}\) - zdarzenie " żadna z wylosowanych kart nie jest damą"
\(\displaystyle{ A = \{\omega: \omega = f: \{1,2\} \rightarrow \{1,2,3,4\} \}, \ \ f(i)>f(j), \ \ i> j\}}\)
\(\displaystyle{ |A| = {4\choose 2} = \frac{4\cdot 3}{1\cdot 2} = 6.}\)
\(\displaystyle{ B = \{\omega: \omega = f: \{1,2\} \rightarrow \{ 1,2,3,...,48\}, \ \ f(k) >f(l), k> l \}}\)
\(\displaystyle{ |B| = {48\choose 2} = \frac{48\cdot 47}{1\cdot 2} = 24\cdot 47.}\)
Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe
\(\displaystyle{ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A)}{P(B)}.}\)
\(\displaystyle{ P(A|B) = \frac{6}{24\cdot 47} = \frac{1}{4\cdot 47} = \frac{1}{188}.}\)
Interpretacja otrzymanego prawdopodobieństwa
W wyniku jednoczesnego losowania dwóch kart z talii zawierającej \(\displaystyle{ 52}\) karty, należy oczekiwać, że na \(\displaystyle{ 188}\) losowań, jeśli nie będziemy otrzymywali dwie karty z damami, to w jednym przypadku otrzymamy dwa asy.
Spotkałem się z inną metodą rozwiązania tego typu zadań.
Odrzucamy cztery karty z talii, w tym przypadku damy.
Stosujemy wzór na prawdopodobieństwo klasyczne.
\(\displaystyle{ P(C) = \frac{{4\choose 2}}{{48\choose 2}}}\)
Jest to niepoprawny sposób rozwiązania, bo nie korzystamy z prawdopodobieństwa warunkowego zdarzeń, wyraźnie określonego w treści zadania. Modelujemy inne doświadczenie losowe, polegające na jednoczesnym losowaniu dwóch kart z talii zawierającej \(\displaystyle{ 48}\) kart, z której wyjęto cztery damy i określającego prawdopodobieństwo wylosowania dwóch asów.
Zadanie 2
Rozwiązujemy podobnie.
Doświadczenie losowe polega na jednoczesnym losowaniu dwóch kart z talii zawierającej \(\displaystyle{ 52}\) karty.
Oznaczenie zdarzeń:
\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie "obie karty będą asami".
\(\displaystyle{ B}\) - zdarzenie " żadna z wylosowanych kart nie jest damą"
\(\displaystyle{ A = \{\omega: \omega = f: \{1,2\} \rightarrow \{1,2,3,4\} \}, \ \ f(i)>f(j), \ \ i> j\}}\)
\(\displaystyle{ |A| = {4\choose 2} = \frac{4\cdot 3}{1\cdot 2} = 6.}\)
\(\displaystyle{ B = \{\omega: \omega = f: \{1,2\} \rightarrow \{ 1,2,3,...,48\}, \ \ f(k) >f(l), k> l \}}\)
\(\displaystyle{ |B| = {48\choose 2} = \frac{48\cdot 47}{1\cdot 2} = 24\cdot 47.}\)
Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe
\(\displaystyle{ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A)}{P(B)}.}\)
\(\displaystyle{ P(A|B) = \frac{6}{24\cdot 47} = \frac{1}{4\cdot 47} = \frac{1}{188}.}\)
Interpretacja otrzymanego prawdopodobieństwa
W wyniku jednoczesnego losowania dwóch kart z talii zawierającej \(\displaystyle{ 52}\) karty, należy oczekiwać, że na \(\displaystyle{ 188}\) losowań, jeśli nie będziemy otrzymywali dwie karty z damami, to w jednym przypadku otrzymamy dwa asy.
Spotkałem się z inną metodą rozwiązania tego typu zadań.
Odrzucamy cztery karty z talii, w tym przypadku damy.
Stosujemy wzór na prawdopodobieństwo klasyczne.
\(\displaystyle{ P(C) = \frac{{4\choose 2}}{{48\choose 2}}}\)
Jest to niepoprawny sposób rozwiązania, bo nie korzystamy z prawdopodobieństwa warunkowego zdarzeń, wyraźnie określonego w treści zadania. Modelujemy inne doświadczenie losowe, polegające na jednoczesnym losowaniu dwóch kart z talii zawierającej \(\displaystyle{ 48}\) kart, z której wyjęto cztery damy i określającego prawdopodobieństwo wylosowania dwóch asów.
Zadanie 2
Rozwiązujemy podobnie.