Dziecko otrzymało w prezencie n

[sandra791]

Dziecko otrzymało w prezencie \(\displaystyle{ n}\) jednakowych klocków sześciennych szczelnie wypełniających pudełko. Po zakończonej zabawie dziecko każdorazowo wkłada klocki do pudełka zbierając je na chybił-trafił. Jakie jest prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ p_{n}}\), że po trzykrotnym użyciu klocków przynajmniej jeden z nich znajdzie się w miejscu, na którym był w chwili wręczenia prezentu? Znajdź \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty}p_{n}}\).

[kerajs]

Każde ułożenie klocków jest niezależne od wcześniejszych ułożeń, więc fragment o trzykrotnym użyciu klocków nie ma wpływu na wynik.
\(\displaystyle{ P_n(A)=1-P_n(A')=1- \frac{!n}{n!}=1- \frac{n! \sum_{i=0}^{n} \frac{(-1)^{i}}{i!} }{n!}=1- \sum_{i=0}^{n} \frac{(-1)^{i}}{i!}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }P_n(A)= \lim_{ n\to \infty } \left( 1- \sum_{i=0}^{n} \frac{(-1)^{i}}{i!}\right) =1- \sum_{i=0}^{ \infty } \frac{(-1)^{i}}{i!}=1-e^{-1}=1- \frac{1}{e}}\)


PS

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Podsilnia