Liczenie dystrybuanty i gęstości funkcji zmiennej losowej

[Anxious]

Witam,

Próbuje opanować temat funkcji zmiennej losowej. Borykam się właśnie z następującym zadaniem:

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ 2}\). Wyznaczyć dystrybuantę oraz gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y = |X - 3|}\)

W jaki sposób można to ugryźć?

[janusz47]

1.
Określamy funkcję gęstości \(\displaystyle{ f_{X}(x).}\)

2.
Obliczamy dystrybuantę \(\displaystyle{ F_{X}(x).}\)

3.
Znajdujemy dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\)

\(\displaystyle{ F_{Y}(y) = Pr(\{Y< y\}).}\)

4.
Obliczamy gęstość \(\displaystyle{ f_{Y}(y).}\)

[kolegasafeta]

Dodam trochę szczegółów. Dystrybuanta będzie gładka (poza jednym punktem), więc różniczkując ją otrzymamy gęstość.

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(Y \le t) = \mathbb{P}(|X-3| \le t) = \mathbb{P}(X \in (3-t, 3 + t)) = \mathbb{P}(X \in (\max (0, 3-t), 3 + t)) = \left\{\begin{array}{l} 0, \hbox{ dla } t \le 0\\\mathbb{P}(x \in (3-t, 3+t), \hbox{ dla } t \le 3\\ \mathbb{P}(x \in (0, t+3) \hbox{ dla } t \ge 3 \end{array}}\)

Trzecia równość wynika z definicji rozkładu wykładniczego. Dwa ostatnie wyrażenia można policzyć całkując gęstość rozkładu wykładniczego na odpowiednich przedziałach.

[Anxious]

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(Y \le t) = \mathbb{P}(|X-3| \le t) = \mathbb{P}(X \in (3-t, 3 + t)) = \mathbb{P}(X \in (\max (0, 3-t), 3 + t)) = \left\{\begin{array}{l} 0, \hbox{ dla } t \le 0\\\mathbb{P}(x \in (3-t, 3+t), \hbox{ dla } t \le 3\\ \mathbb{P}(x \in (0, t+3) \hbox{ dla } t \ge 3 \end{array}}\)

Próbowałem to rozpisać, ale mam wrażenie, że doszedłem do czegoś bez sensu.

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(x \in (3-t, 3+t) = P(X > 3-t) + P(X < 3+t) = 1 - P(X < 3-t) + P(X < 3+t) = 1 - F_{X}(3-t) + F_{X}(t+3)}\)

Ale tutaj:

\(\displaystyle{ F_{x}(3-t) = \begin{cases} 0 &\text{dla } 3-t < 0\\1-e^{3-t} &\text{dla } 3-t \ge 0 \end{cases}}\)

Daje chyba zawsze \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ t \le 3}\). Czyli powyższe równanie, by miało postać:

\(\displaystyle{ P(x \in (3-t, 3+t) = 1 + P(X < 3+t)}\)

A tutaj od razu widać, że to jest bez sensu, skoro sumuję coś potencjalnie dodatniego do jedynki. Możliwe, że coś źle robię przy tym rozpisywaniu.

Chyba za to udało mi się rozwiązać to zadanie przy pomocy takiego wzoru:

\(\displaystyle{ F_{Y}(t) = \int_{\left\{ x : g(x) \le t \right\} }f(x)dx}\)

Gdzie:

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 0 &\text{dla } x < 0\\2e^{-2x} &\text{dla } x \ge 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ g(x) = \begin{cases} 0 &\text{dla } x < 0\\3 - 2e^{-2x} &\text{dla } x \ge 0 \end{cases}}\)

Rozrysowałem sobie \(\displaystyle{ g(x)}\), żeby sobie zilustrować, jaki będzie przedział tej całki.

AU

a6mtc.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 239 razy

Czyli całka będzie miała następującą postać:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{1}{2}ln( \frac{2}{3-t})}2e^{-2x}dx =\left[ -e^{-2x}\right]_{0}^{\frac{1}{2}ln( \frac{2}{3-t})} = \frac{t - 1}{2}}\)

Ostatecznie:

\(\displaystyle{ F_{Y}(t) = \begin{cases} 0 &\text{dla } t < 1\\ \frac{t - 1}{2} &\text{dla } t \in \left[ 1,3\right] \\ 1 &\text{dla } t > 3 \end{cases}}\)

A gęstość liczę z pochodnej tej dystrybuanty:

\(\displaystyle{ f_{Y}(t) = \begin{cases} \frac{1}{2} &\text{dla } t \in [1,3] \\ 0 &\text{w p.p. } \end{cases}}\)

Wydaje mi się, że to rozwiązanie jest ok, ale byłbym bardzo wdzięczny, gdyby ktoś rzucił na nie okiem i potwierdził, że rzeczywiście tak jest. Z uwagą też na to, czy dobrze określiłem te przedziały.

[kolegasafeta]

Jeszcze uwaga co do mojego wpisu. Nie miałem na myśli, żeby to dalej przekształcać, tylko policzyć to prawdopodobieństwo całkując gęstość na odpowiednich przedziałach. Na to samo wyjdzie.

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(x \in (3-t, 3+t) = \int_{3-t}^{3+t} 2\cdot\ e^{-2x}dx
\\
\mathbb{P}(x \in (0, t+3) = \int_{0}^{t+3} 3 \cdot e^{-2x}dx}\)

[Anxious]

Mam wątpliwości co do swojego rozwiązania. Wydaje mi się, że \(\displaystyle{ g(x)}\) źle określiłem i powinno być:

\(\displaystyle{ g(x) = |x - 3|}\)