Losowanie kart, prawdopodobieństwo warunkowe

[piotrekdoro]

Dzień dobry. Poniżej przedstawię rozwiązanie zadania, a następnie moje problemy ze zrozumieniem tego rozwiązania.

Gracz otrzymał 13 kart z talii 52 kart. Obejrzał 8 kart i stwierdził, że nie ma wśród nich asa. Podaj prawdopodobieństwo, że wśród pozostałych 5 kart również nie ma asa.

Rozwiązanie, które posiadam:

\(\displaystyle{ \Omega= \binom {52} {13}}\)

\(\displaystyle{ B= \binom {48} {8} \binom {44} {5}}\)

\(\displaystyle{ P(B)=\frac{\binom {48} {8} \binom {44} {5}} { \binom {52} {13}}}\)

\(\displaystyle{ A\subset B \implies #(A \cap B)=#A}\)

\(\displaystyle{ #(A \cap B)=\binom {48} {8} \binom {40} {5}}\)

\(\displaystyle{ P(A \cap B)=\frac{\binom {48} {8} \binom {40} {5}} { \binom {52} {13}}}\)

\(\displaystyle{ P(A|B)=\frac {P(A \cap B)} {P(B)}=\frac {\frac{\binom {48} {8} \binom {40} {5}} { \binom {52} {13}}} {\frac{\binom {48} {8} \binom {44} {5}} { \binom {52} {13}}}}\)

Moje problemy z tym rozwiązaniem:

- dlaczego do obliczania liczebności zbioru używamy kombinacji bez powtórzeń? Jeśli dobrze rozumiem przy kombinacji nie liczy się kolejność elementów, podczas gdy treść zadania sugeruje, że to czy karty zostały odsłonięte na początku czy na końcu ma znaczenie. Dlaczego nie użyto wzoru na wariację bez powtórzeń? Wtedy \(\displaystyle{ # \Omega =\frac{52!}{(52-13)!}}\), a pozostałe moce zbiorów byłyby liczone analogicznie.

- kiedy liczymy liczebność zbioru B najpierw zapisujemy \(\displaystyle{ \binom{48}{8}}\). Ta część jest jasna. Tworzymy 8-wyrazowy ciąg z 48-elementowego zbioru. Od 52 kart odrzucono 4 asy. Następnie mamy \(\displaystyle{ \binom{48}{8}}\), dlatego, że od 52 kart odrzucamy 8 kart, które zostały już odkryte, ale nie odrzucamy czterech asów? W takim razie \(\displaystyle{ P(A|B)}\) należy czytać jako: Prawdopodobieństwo, że wśród pięciu ostatnich nieodsłoniętych kartach nie ma asa (zdarzenie "A") pod warunkiem, że(symbol "|") wśród ośmiu pierwszych odsłoniętych kart również nie ma żadnego asa (zdarzenie "B").

Z góry dziękuję za pomoc.

[piasek101]

Kolejność odsłanianych kart nie ma znaczenia - kombinacje.

Takie zadania wygodnie jest robić zawężając przestrzeń zdarzeń elementarnych - skoro 8 kart jest bez asa to wystarczy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania pozostałych pięciu (z tych kart co zostały) tak aby nie było w nich asa.

\(\displaystyle{ |\Omega|={44\choose 5}}\)

\(\displaystyle{ |A|={40\choose 5}}\)