Wyznaczyć funkcję charakterystyczną rozkładu Laplace'a o gęstości
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2\lambda} e ^{ \frac{-\left| x - m\right| }{\lambda} }}\).
\(\displaystyle{ (1)}\) Policzyłam gęstość dla \(\displaystyle{ m = 0}\) i \(\displaystyle{ \lambda = 1}\)
\(\displaystyle{ \Phi(t) = \frac{1}{1 + t ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ (2)}\) Wiem, że jeśli \(\displaystyle{ X \approx L(m, \lambda)}\) to \(\displaystyle{ \lambda(X - m) \approx L(0,1)}\), ale szczerze mówiąc nie umiem tego wykorzystać
Proszę o pomoc i wskazówki
Rozkład Laplace'a i funkcja charakterystyczna.
-
- Użytkownik
- Posty: 207
- Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Mielec
- Podziękował: 14 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Rozkład Laplace'a i funkcja charakterystyczna.
Korzystamy z twierdzenia:
Jeśli zmienna losowa \(\displaystyle{ \xi}\) ma funkcję charakterystyczną \(\displaystyle{ \phi_{\xi}(t),}\) to funkcja charakterystyczna zmiennej losowa \(\displaystyle{ \eta = a\cdot \xi +b}\) ma postać:
\(\displaystyle{ \phi_{\eta} = \phi_{a\cdot \xi + b}(t) = e^{i \cdot t\cdot b}\phi_{\xi}(a\cdot t)}\) (proszę udowodnić).
W tym przypadku
\(\displaystyle{ \phi_{\xi}(t) = \frac{1}{1 +t^2}}\)
\(\displaystyle{ \phi_{\eta}(t) = \phi_{\lambda \cdot x + m } = \frac{e^{i\cdot t\cdot m}}{1 +(\lambda\cdot t)^2} \ \ (1)}\)
Funkcja charakterystyczna rozkładu Laplace'a o gęstości
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{2\lambda} e^{-\frac{|x -m|}{\lambda}}}\) dana jest wzorem \(\displaystyle{ (1).}\)
Jeśli zmienna losowa \(\displaystyle{ \xi}\) ma funkcję charakterystyczną \(\displaystyle{ \phi_{\xi}(t),}\) to funkcja charakterystyczna zmiennej losowa \(\displaystyle{ \eta = a\cdot \xi +b}\) ma postać:
\(\displaystyle{ \phi_{\eta} = \phi_{a\cdot \xi + b}(t) = e^{i \cdot t\cdot b}\phi_{\xi}(a\cdot t)}\) (proszę udowodnić).
W tym przypadku
\(\displaystyle{ \phi_{\xi}(t) = \frac{1}{1 +t^2}}\)
\(\displaystyle{ \phi_{\eta}(t) = \phi_{\lambda \cdot x + m } = \frac{e^{i\cdot t\cdot m}}{1 +(\lambda\cdot t)^2} \ \ (1)}\)
Funkcja charakterystyczna rozkładu Laplace'a o gęstości
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{2\lambda} e^{-\frac{|x -m|}{\lambda}}}\) dana jest wzorem \(\displaystyle{ (1).}\)