Lemat Borela-Cantellego

[Nefarius10]

Muszę rozwiązać następujące zadanie:

Użyj lematu Borela-Cantellego by pokazać, że ciąg niezależnych zmiennych losowych \(\displaystyle{ \left\{ X _{n} \right\} ^{ \infty } _{n = 1}}\) z \(\displaystyle{ X _{n} \in \left\{ 0, 1\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ Pr\left\{ X _{n}= 1 \right\} = \frac{1}{ n^{2} }}\), zawiera z prawdopodobieństwem 1 tylko skończenie wiele jedynek. Co można powiedzieć w przypadku gdy \(\displaystyle{ Pr\left\{ X _{n}= 1 \right\} = \frac{1}{ n }}\)? Dla drugiego przypadku przybliż oczekiwaną liczbę jedynek w ciągu \(\displaystyle{ \left\{ X _{n} \right\} ^{ m } _{n = 1}}\) jako funkcję \(\displaystyle{ m}\) i odchylenia standardowego \(\displaystyle{ \sigma _{m}}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{m} X _{n}}\).

Nie wiem jak ugryźć to zadanie. Jedyne do czego udało mi się dojść, to, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } P(X _{n}) = \frac{ \pi ^{2} }{6} < \infty}\). Czy na podstawie tej nierówności można powiedzieć, że skoro prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu zdarzeń z \(\displaystyle{ X _{n}}\) wyniosi 0, to skończenie wiele zdarzeń będących "jedynkami" zawiera z prawdopodobieństwem 1?