Witam, czy mógłbym prosić o podpowiedź, która pozwoli mi udowodnić nierówność z rzeczywistymi funkcjami charakterystycznymi? Ta nierówność to:
\(\displaystyle{ \ 1 - \varphi(2t) \le 4(1 - \varphi (t) )}\)
Nierówność z funkcją charakterystyczną
-
Bursztyncio
- Użytkownik
- Posty: 80
- Rejestracja: 24 lis 2015, o 23:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 34 razy
-
leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Nierówność z funkcją charakterystyczną
Jeśli "rzeczywista funkcja charakterystyczna" to funkcja generująca momenty - \(\displaystyle{ t \rightarrow \EE e ^{tX}}\), to nierównośc nie jest prawdziwa:
\(\displaystyle{ 1 - \varphi(2t) \le 4(1 - \varphi (t) ) \Leftrightarrow 1 \le \varphi(2t) +4(1 - \varphi (t) )}\)
Czyli próbujemy udowodnić, że \(\displaystyle{ \EE [ e^{2tX} -4 e^{tx} + 4] \ge 1}\) ale
\(\displaystyle{ \EE [ e^{2tX} -4 e^{tx} + 4] = \EE [ e^{tX} -2]^2}\)
Weźmy teraz \(\displaystyle{ X = \frac{1}{t} \log(2)}\) (czyli X jest totoalnie nielosowe) - nierówność nie jest prawdziwa
\(\displaystyle{ 1 - \varphi(2t) \le 4(1 - \varphi (t) ) \Leftrightarrow 1 \le \varphi(2t) +4(1 - \varphi (t) )}\)
Czyli próbujemy udowodnić, że \(\displaystyle{ \EE [ e^{2tX} -4 e^{tx} + 4] \ge 1}\) ale
\(\displaystyle{ \EE [ e^{2tX} -4 e^{tx} + 4] = \EE [ e^{tX} -2]^2}\)
Weźmy teraz \(\displaystyle{ X = \frac{1}{t} \log(2)}\) (czyli X jest totoalnie nielosowe) - nierówność nie jest prawdziwa