Funkcje generujące moment - rozkład Poissona

[Papkinowski]

Witam serdecznie. Mój problem polega na tym, że mam do zrobienia zadanie dodatkowe na zajęcia z prawdopodobieństwa i nie mam zielonego pojęcia jak się za nie zabrać. Oto zadanie :

a) Obliczyć funkcję generującą momenty dla rozkładu Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda > 0}\).
b) Niech \(\displaystyle{ X \sim Pois(\lambda)}\). W oparciu o związek funkcji generującej momenty z momentami rozkładu wyznaczyć \(\displaystyle{ EX}\) oraz \(\displaystyle{ EX^2}\).
c) Pokazać, że suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładach Poissona z parametrami \(\displaystyle{ \lambda_1}\) i \(\displaystyle{ \lambda_2}\) jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda_1+\lambda_2}\).

Jeśli ktoś byłby w stanie jakoś mnie nakierować na odpowiednią ścieżkę byłbym bardzo wdzięczny.

[janusz47]

a)

\(\displaystyle{ X\sim Poisson(\lambda >0).}\)

\(\displaystyle{ t\in \RR.}\)

\(\displaystyle{ M_{X}(t) = E(e^{tX}) = \sum_{x=0}^{\infty}e^{tx}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{x}}{x!}}\)

\(\displaystyle{ M_{X}(t) = e^{-\lambda}\sum_{x=0}^{\infty}\frac{(e^{t}\lambda)^{x}}{x!} = e^{-\lambda}\exp(t \lambda) = e^{e^{t}\lambda - \lambda} = e^{[\lambda( e^{t}-1)]} \ \ (1)}\)

\(\displaystyle{ b)}\)

Proszę obliczyć na podstawie momentu generującego \(\displaystyle{ (1)}\)

\(\displaystyle{ E(X) = [M_{X}(t)]^{'} _{|t=0}}\)

\(\displaystyle{ E(X^2)= [M_{X}(t)]^{''}_{|t=0}}\)

\(\displaystyle{ c)}\)

\(\displaystyle{ X_{1}\sim Poisson(\lambda_{1}), \ \ X_{2}\sim Poisson(\lambda_{2})}\)

\(\displaystyle{ X = X_{1}+ X_{2} \sim Poisson(\lambda_{1}+\lambda_{2}).}\)

Proszę skorzystać z własności momentu generującego

\(\displaystyle{ M_{X_{1}+X_{2}}(t) = M_{X_{1}}(t)\cdot M_{X_{2}}(t).}\)

[Papkinowski]

Dziękuję bardzo, problem rozwiązany.