Równanie gęstości
Równanie gęstości
Zmienna losowa podlega rozkładowi według trapezu równoramiennego o kącie 30 przy czym a <= x <= b. Napisz równanie gęstości.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Równanie gęstości
Rysunek trapezu równoramiennego \(\displaystyle{ \mathcal{T}(a,c, d, b, e, f), \ \ a\leq c\leq d \leq d.}\)
Trapez jest równoramienny, więc punkty \(\displaystyle{ c, d}\) należące do jego podstawy \(\displaystyle{ \overline{ab}}\) są rozmieszczone w taki sposób, że odcinki \(\displaystyle{ \overline{ac}}\) i \(\displaystyle{ \overline{db}}\) są równe.
\(\displaystyle{ c- a = b - d = \frac{(b - a ) -(f- e)}{2}}\)
Przy tych oznaczeniach pole trapezu
\(\displaystyle{ |S| = \frac{1}{2}(c-a)\cdot h + (d-c)\cdot h + \frac{1}{2}(b-d) \cdot h \ \ (1)}\)
\(\displaystyle{ h}\) jest wysokością trapezu.
Z równania (1)możemy wyznaczyć długość wysokości trapezu \(\displaystyle{ h}\) zakładając, że funkcja gęstości spełnia warunek \(\displaystyle{ |S|= 1.}\)
\(\displaystyle{ h = \frac{2}{( b-a)+ (d-c)}.}\)
Funkcja gęstości \(\displaystyle{ f}\) trapezu ma postać:
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 0, \ \ x< a \\ \frac{x-a}{c-a}\cdot h, \ \ a \leq x < c \\ h, \ \ c \leq x < d \\ \frac{x -d}{b-d}\cdot h, \ \ d \leq x < b \\ 0, \ \ x \geq b \end{cases}.}\)
To jest postać funkcji gęstości dla dowolnego trapezu \(\displaystyle{ \mathcal{T}(a,c, d,b, e,f).}\)
Dla trapezu równoramiennego o nachyleniu ramion pod kątem \(\displaystyle{ 30^{o},}\)
podstawiamy \(\displaystyle{ \frac{h}{c-a} =\tg(30^{0})=\frac{\sqrt{3}}{3}, \ \ \frac{h}{b-d}= tg(150^{o})= -tg(30^{o})= -\frac{\sqrt{3}}{3}.}\)
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 0, \ \ x< a \\ \frac{\sqrt{3}}{3}(x-a), \ \ a \leq x < c \\ h, \ \ c \leq x < d \\ -\frac{\sqrt{3}}{3}(x - d ), \ \ d \leq x < b \\ 0, \ \ x \geq b \end{cases}.}\)
Trapez jest równoramienny, więc punkty \(\displaystyle{ c, d}\) należące do jego podstawy \(\displaystyle{ \overline{ab}}\) są rozmieszczone w taki sposób, że odcinki \(\displaystyle{ \overline{ac}}\) i \(\displaystyle{ \overline{db}}\) są równe.
\(\displaystyle{ c- a = b - d = \frac{(b - a ) -(f- e)}{2}}\)
Przy tych oznaczeniach pole trapezu
\(\displaystyle{ |S| = \frac{1}{2}(c-a)\cdot h + (d-c)\cdot h + \frac{1}{2}(b-d) \cdot h \ \ (1)}\)
\(\displaystyle{ h}\) jest wysokością trapezu.
Z równania (1)możemy wyznaczyć długość wysokości trapezu \(\displaystyle{ h}\) zakładając, że funkcja gęstości spełnia warunek \(\displaystyle{ |S|= 1.}\)
\(\displaystyle{ h = \frac{2}{( b-a)+ (d-c)}.}\)
Funkcja gęstości \(\displaystyle{ f}\) trapezu ma postać:
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 0, \ \ x< a \\ \frac{x-a}{c-a}\cdot h, \ \ a \leq x < c \\ h, \ \ c \leq x < d \\ \frac{x -d}{b-d}\cdot h, \ \ d \leq x < b \\ 0, \ \ x \geq b \end{cases}.}\)
To jest postać funkcji gęstości dla dowolnego trapezu \(\displaystyle{ \mathcal{T}(a,c, d,b, e,f).}\)
Dla trapezu równoramiennego o nachyleniu ramion pod kątem \(\displaystyle{ 30^{o},}\)
podstawiamy \(\displaystyle{ \frac{h}{c-a} =\tg(30^{0})=\frac{\sqrt{3}}{3}, \ \ \frac{h}{b-d}= tg(150^{o})= -tg(30^{o})= -\frac{\sqrt{3}}{3}.}\)
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 0, \ \ x< a \\ \frac{\sqrt{3}}{3}(x-a), \ \ a \leq x < c \\ h, \ \ c \leq x < d \\ -\frac{\sqrt{3}}{3}(x - d ), \ \ d \leq x < b \\ 0, \ \ x \geq b \end{cases}.}\)