2.Wyznacz współczynnik a tak, aby funkcja była gęstością...

[janusz1234]

Wyznacz współczynnik a tak, aby funkcja była gęstością, wyznacz dystrybuantę, wartość oczekiwaną, wariancję. Narysuj wykresy dystrybuanty i gęstości.

\(\displaystyle{ g(x)= \begin{cases} ax &\mbox{dla } 0<x<3 \\ 0 &\mbox{dla pozostałych }x \end{cases}}\)

Udało mi się zrobić tyle.

\(\displaystyle{ \int_0^3 xdx = a\left[ \frac{1}{2}x^2\right]_0^3 = \frac{9}{2}a = 1}\)

\(\displaystyle{ a = \frac{2}{9}}\)

\(\displaystyle{ g(x) = \frac{2}{9}x}\)

\(\displaystyle{ F(x) = \frac{2}{9} \cdot \int_0^x tdt = \frac{2}{9} \left[ \frac{1}{2}t^2\right]_0^x = \frac{1}{9}x^{2}}\)

\(\displaystyle{ EX = \int_0^3 x g(x)dx= \frac{2}{9} \int_0^3 x^{2} dx = \frac{2}{9} \left[ \frac{1}{3}x^3\right]_0^3 = 1}\)

Dobrze postąpiłem? Co dalej?

[janusz47]

Przedstaw dystrybuantę w postaci klamerkowej.

Popraw wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ E(X) = \frac{18}{9}= 2.}\)

Oblicz wariancję zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\)

\(\displaystyle{ V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2.}\)

albo

\(\displaystyle{ V(X) = \int_{0}^{3} [ x -E(X)]^2\cdot g(x)dx.}\)

Wykonaj wykresy funkcji gęstości i funkcji rozkładu.

[janusz1234]

Poprawiona wartość oczekiwana:

\(\displaystyle{ EX = \int_0^3 x g(x)dx= \frac{2}{9} \int_0^3 x^{2} dx = \frac{2}{9} \left[ \frac{1}{3}x^3\right]_0^3 = 2}\)

\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0 &\mbox{dla } x \le 0 \\ \frac{1}{9} x^{2} &\mbox{dla }0<x<3 \\ 1 &\mbox{dla }x \ge 3 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2}\)

\(\displaystyle{ [E(X)]^2 = \int_0^3 x^2 \cdot \frac{1}{9} x^2dx = \frac{1}{9} \int_0^3 x^4 = \frac{1}{9} \left[ \frac{1}{5}x^5\right]_0^3 = \frac{27}{5}}\)

\(\displaystyle{ (EX)^2 = 2^2 = 4}\)

\(\displaystyle{ V(X) = \frac{27}{5} - 4 = \frac{7}{5}}\)

Poprawnie wykonałem powyższe zadania? Ponadto przepraszam za ewentualne błędy w kodzie LaTeX, dopiero się uczę