Wyznacz współczynnik a tak, aby funkcja była gęstością...

[janusz1234]

Wyznacz współczynnik \(\displaystyle{ a}\) tak, aby funkcja była gęstością, wyznacz dystrybuantę, wartość oczekiwaną, wariancję. Narysuj wykresy dystrybuanty i gęstości.

\(\displaystyle{ g(x)= \begin{cases} a \cdot \sin x &\mbox{dla } 0<x<\pi \\ 0 &\mbox{dla pozostałych }x \end{cases}}\)

Potrzebna pomoc w rozwiązaniu

[janusz47]

Z własności funkcji gęstości rozkładu

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} g(x) dx = \int_{-\infty}^{0} 0 dx + \int_{0}^{\pi}a\sin(x) dx + \int_{\pi}^{\infty} 0 dx =1}\)
.....................................................................................

\(\displaystyle{ a=?}\)

[janusz1234]

\(\displaystyle{ \int_0^ \pi a \sin(x)dx = 1}\)

\(\displaystyle{ a \int_0^ \pi \sin(x)dx = a\left[- \cos(x) \right]_0^\pi = a+a=2a}\)

\(\displaystyle{ a = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ g(x) = \frac{1}{2}\sin(x)}\)

\(\displaystyle{ F(x)= \frac{1}{2}\cdot\int_0^x \sin(t)dt = \frac{1}{2} \left[- \cos(t) \right]_0^x = -\frac{1}{2} \cos(x) + \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ EX = \int_0^ \pi xg(x)dx = \frac{1}{2} \int_0^ \pi x\sin(x)dx = \frac{1}{2} \left[- x\cos(x) + \sin(x)\right]_0^\pi = \\= \frac{1}{2} \cdot (-\pi) \cdot (-1) + \frac{1}{2} \cdot 0 + 0 - 0 = \frac{\pi}{2}}\)

Dobrze doszedłem do tego momentu? Proszę o rozwiązanie dalszej części zadania i wytłumaczenie -- 6 sty 2019, o 17:48 --\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0 &\mbox{dla } x \le 0 \\ -\frac{1}{2} \cos(x) + \frac{1}{2} &\mbox{dla }0<x<\pi \\ 1 &\mbox{dla }\pi \le x \end{cases}}\)

Dobrze wykonałem tę część zadania?