dystrybuanta zmiennej losowej

[pow3r]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) funkcja \(\displaystyle{ F(x)=a\arccos x +b}\) jest dystrubuanta zmiennej losowej?

[janusz47]

Jakie są własności funkcji \(\displaystyle{ F,}\) która jest dystrybuantą?

[pow3r]

Funkcja jest dystrybuantą, gdy spełnione są warunki:
1) f. jest niemalejąca
2) f. jest lewostronnie ciągła
3) \(\displaystyle{ \lim_{x \to - \infty}F(x)=0; \ \lim_{x \to \infty}F(x)=1}\)

-- 3 sty 2019, o 18:57 --

warunek 1, 2 mozna spostrzec z wykresu
3.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to - \infty}a\arccos x+b=0 \Rightarrow -a+b=0 \\
\lim_{x \to \infty}a\arccos x+b=1 \Rightarrow a+b=1\\
\begin{cases} a= \frac{1}{2} \\ b= \frac{1}{2} \end{cases}}\)

[janusz47]

Jeśli narysujesz wykres funkcji \(\displaystyle{ \arccos(x),}\) to jakie są granice:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to -1^{+}} (a\cdot \arccos(x) +b )}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 1^{-}} (a\cdot \arccos(x) +b)}\)

[pow3r]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to -1^{+}} (a\cdot \arccos(x) +b )=0 \Rightarrow \pi \cdot a +b=0

\lim_{x\to 1^{-}} (a\cdot \arccos(x) +b)=1 \Rightarrow b=1

\begin{cases} \pi \cdot a +1=0 \\ b=1\end{cases}

\begin{cases} a= \frac{-1}{\pi} \\ b=1 \end{cases}}\)

[janusz47]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to -1}(a +b\arccos(x)= a +b\arccos(-1)= a+ b\cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right)= 0,}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 1}(a +b\arccos(x) = a +b\arccos(1) = a +b\cdot \frac{\pi}{2} = 1.}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a- b\cdot \frac{\pi}{2}= 0 \\ a +b\cdot \frac{\pi}{2} = 1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ a = \frac{1}{2}, \ \ b = \frac{1}{\pi}.}\)