Weryfikacja zadań z rozkładu dwumianowego

[victor152]

Rozwiązałem zadania z rozkładu dwumianowego, których treść jest następująca:

3. Właściciel kurzej fermy stwierdził, że kogutków wykluwa się trzy razy więcej niż
kurek. Obliczyć prawdopodobieństwo, że z pięciu losowo wybranych jajek wykluje się co
najmniej jeden kogutek.

5. Przyjmując, że co czwarte wezwanie pogotowia jest nieuzasadnione określić
prawdopodobieństwo, że na osiem wyjazdów co najmniej połowa z nich będzie uzasadniona.

Wykonałem następujące obliczenia:

Dla zadania 3.
zmienna losowa - liczba wyklutych kogutów
sukces - wyklucie się koguta

\(\displaystyle{ p = \frac{3}{4}, q=\frac{1}{4}, n=5\\
P(X=x) = \binom{n}{x} \cdot p^{x} \cdot q^{n-x}\\
P(X \ge 1)=1-P(X=0)\\
P(X=0)=\binom{5}{0} \cdot \left( \frac{3}{4}\right) ^0 \cdot \left( \frac{1}{4}\right) ^5 \approx 0.001\\
P(X \ge 1) = 1- 0,001 = 0,999}\)

Dla zadania 5.
zmienna losowa - liczba uzasadnionych wezwań pogotowia
sukces - uzasadnione wezwanie pogotowia

\(\displaystyle{ p = \frac{3}{4}, q=\frac{1}{4}, n=8\\
P(X \ge 4)=1-P(X<4) = 1 - \left( P(X=3)+P(X=2)+P(X=1)+P(X=0) \right)\\
P(X=3)=\binom{8}{3} \cdot \left( \frac{3}{4}\right) ^3 \cdot \left( \frac{1}{4}\right) ^5 \approx 0.02307\\
P(X=2) \approx 0,00384\\
P(X=1) \approx 0,00036\\
P(X=0) \approx 0,000015\\
P(X \ge 4)=1-P(X<4) = 1 - 0.03 = 0.97}\)

Prawidłowymi rozwiązaniami w/g klucza odpowiedzi są:

Odp.: Prawdopodobieństwo, że z pięciu losowo wybranych jajek wykluje się co najmniej jeden
kogutek wynosi \(\displaystyle{ 0,75}\).

Odp.: Prawdopodobieństwo, że na osiem wyjazdów co najmniej połowa z nich będzie uzasadniona,
wynosi \(\displaystyle{ 0,32}\).

Coś ewidentnie skiepściłem, prośba o nakierowanie.

[janusz47]

Zadanie 3

\(\displaystyle{ n = 5, \ \ p = \frac{3}{4}}\) (bo na cztery wyklucia trzy mamy kogutki i jedną kurkę)

\(\displaystyle{ P(\{X\geq 1\}) = 1 – P(\{X<1\}) = 1 –P(\{X=0\}) = 1- \frac{1}{4} = 0,75.}\)

Odp.: Prawdopodobieństwo, że z pięciu losowo wybranych jajek wykluje się co najmniej jeden kogutek wynosi \(\displaystyle{ 0,75.}\)-- 2 sty 2019, o 23:01 --Zadanie 5

\(\displaystyle{ n = 8, \ \ p = \frac{3}{4} = 0,75}\) (sukces: uzasadnione wezwanie pogotowia)

\(\displaystyle{ P(\{X>=4\}) = 1 – P(\{X<4\}) = 1 – [P(\{X=3\}) + P(\{X=2\}) +\\+ P(\{X=1\}) + P(\{X=0\})] = 1-(0,421875+0,2109375+0,046875+\\ +0,00390625) = 0,31640625.}\)

Odp.: Prawdopodobieństwo, że na osiem wyjazdów co najmniej połowa z nich będzie uzasadniona, wynosi \(\displaystyle{ 0,32.}\)

[victor152]

No dobrze, widzę, że skopiowałeś mi rozwiązania ze strony:

Kod: Zaznacz cały

https://www.e-sgh.pl/niezbednik/student

... p?pid=1516

Nadal nic mi to nie pomaga, bo szukam błędu w sposobie liczenia konkretnych prawdopodobieństw.

[janusz47]

Nie skopiowałem. Zadania te przerabiałem ze studentami ze zbioru Kukuły.

Po drugie popełniasz w swoim obliczeniach błąd. Musimy zastosować wzór na prawdopodobieństwo oczekiwania na sukces.

Na przykład w drugim zadaniu pierwsze prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ Pr(\{X = 3\}) = \left( \frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64}= 0,421875.}\)

[victor152]

W porządku, a czy jesteś mi w stanie jakoś wyjasnić, czemu nie powinienem tu skorzystać z funkcji rozkładu prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego, skoro jego dotyczą te zadania?

\(\displaystyle{ P(X=x) = \binom{n}{x} \cdot p^{x} \cdot q^{n-x}\\}\)

Domyślam się, że Ty użyłeś wzoru:
\(\displaystyle{ P(X=x) = p^x}\)

Mógłbyś podlinkować albo nazwać ten wzór jakoś, abym mógł poczytać o nim w internecie?

[janusz47]

Dlatego że na przykład jajko z wyklutym kurczaczkiem (kogutkiem czy kurką), to nie jet to samo jajko co przed wykluciem i nie wraca z powrotem do losowania.

Jest to tzw. rozkład geometryczny - oczekiwania na pierwszy sukces.

\(\displaystyle{ Pr(\{x =k }) = p(1-p)^{k-1}, \ \ k = 1,2,...}\)

[victor152]

Dziękuję. Rozumiem,

Zastanawiam się nad tym, co pominąłem podczas czytania treści pytania, że nie zrozumiałem go poprawnie.

Czy masz jakieś wskazówki co do wyboru rozkładu?

Zadanie 3. Właściciel kurzej fermy stwierdził, że kogutków wykluwa się trzy razy więcej niż kurek. Obliczyć prawdopodobieństwo, że z pięciu losowo wybranych jajek wykluje się co najmniej jeden kogutek.

Zadanie 4. W jeziorze jest 1000 ryb, w tym 100 ryb zaobrączkowanych. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród 10 złowionych ryb będą dwie ryby zaobrączkowane.

Mówisz, że trzecie zadanie to rozkład geometryczny, a czwarte zadanie rozwiązałem rozkładem dwumianowym. Jak dla mnie treść zadań zbudowana jest podobnie. Kiedy rozpoznać, że chodzi o "pierwszy sukces", a kiedy o "k sukcesów w n niezależnych prób". Domyślam się, że słowo niezależne jest tu kluczowe? Powinienem się domyśleć, że wykluwanie się jajek jest zależne tak samo jak wzywanie karetki?

Coś brakuje mi tej intuicji (nie)zależności zdarzeń losowych.

[janusz47]

Czwarte zadanie to zadanie na rozkład hipergeometryczny? Czy zapoznanie się z tym rozkładem pozwoli Ci rozwiązać to zadanie?

Wybór rozkładu wynika z treści zadania, na podstawie której wybieramy odpowiedni model probabilistyczny i związany z nim rozkład.

[victor152]

Zadania biorę stąd:

Kod: Zaznacz cały

https://www.e-sgh.pl/niezbednik/plik.ph

... 2&pid=1516

Zasugerowałem się nazwą pliku, że wszystkie dotyczą rozkładu dwumianowego.

Zadanie nr 4, tak jak resztę zadań (1-5), próbowałem rozwiązywać wzorem:
\(\displaystyle{ P(X=x) = \binom{n}{x} \cdot p^{x} \cdot q^{n-x}\\}\)

I wynik wyszedł prawidłowy, a mianowicie:
\(\displaystyle{ p = \frac{1}{10}, q=\frac{9}{10}, n=8\\
P(X=x) = \binom{n}{x} \cdot p^{x} \cdot q^{n-x}\\
P(X=2)=\binom{10}{2} \cdot \left( \frac{1}{10}\right) ^2 \cdot \left( \frac{9}{10}\right) ^8 \approx 0.19}\)

Czemu uważasz, że powinienem użyć tutaj rozkładu hipergeometrycznego?

Czemu w Zadaniu nr 3. i 5. zadania zaczynam rozwiązywać jak dwumianowy (liczba x sukcesow w n próbach), a potem, gdy dokonuje przekształcenia:
\(\displaystyle{ P(X \ge ...)=1-P(X=...)}\) to powinienem nagle używać wzorów rozkładu geometrycznego - oczekiwania na pierwszy sukces?

[janusz47]

W zadaniach 3 i 5 korzystamy z rozkładu geometrycznego.

W zadaniu 4 korzystamy z rozkładu hipergeometrycznego.

\(\displaystyle{ Pr(\{X=2\}) = \frac{{100\choose 2}\cdot {900\choose 8}}{{1000\choose10}}\approx 0,19.}\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

> a = choose(100,2)
> b= choose(900,8)
> c= choose(1000,10)
> P = a*b/c
> P
[1] 0.194466

Można też model połowu ryb, przybliżyć rozkładem Bernoullego (dwumianowym) o parametrach

\(\displaystyle{ \mathcal{B}\left(\frac{1}{10}, 10\right).}\)

\(\displaystyle{ Pr(\{X =2\}) = {10\choose 2}\left( \frac{1}{10}\right)^2 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^8 \approx 0,19.}\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

> P2 = choose(10,2)*(0.1)^2*(0.9)^8
> P2
[1] 0.1937102

[victor152]

W zadaniach 3 i 5 korzystamy z rozkładu geometrycznego.

W zadaniu 4 korzystamy z rozkładu hipergeometrycznego.

Ok, rozumiem. Mógłbyś mnie nakierować na interpretacje poszczególnych rozkładów w poszczególnych zadaniach? Chciałbym zrozumieć, czym się kierować, w momencie wyboru jakim rozkładem liczyć zadanie.

Zadanie 3. Właściciel kurzej fermy stwierdził, że kogutków wykluwa się trzy razy więcej niż kurek. Obliczyć prawdopodobieństwo, że z pięciu losowo wybranych jajek wykluje się co najmniej jeden kogutek.

Rozkład geometryczny – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący prawdopodobieństwo zdarzenia, że proces Bernoulliego odniesie pierwszy sukces dokładnie w k-tej próbie. k musi być liczbą naturalną dodatnią. Rozkład ten oznacza się zwykle symbolem Geo(p).

No i teraz gdzie w wykluwaniu co najmniej jednego kogutka jest kwestia pierwszego sukcesu w k-tej próbie? Nie widzę tego.

Do czego zmierzam, to zrozumienia tego, a nie stricte rozwiązania zadania.

[janusz47]

co najmniej jednego kogutka tzn. jednego, dwa i więcej ...

Zdarzenie przeciwne

\(\displaystyle{ 1 - p(0)}\) kogutków \(\displaystyle{ = 1 - p(kurka)\cdot p(kurka)\cdot ...}\)- rozkład geometryczny.

[victor152]

Co najmniej jednego kogutka, tzn. jednego, dwa, trzy, cztery, pięć.

Zdarzenie przeciwne:
\(\displaystyle{ 1 - p\left(0\ kogutkow\right)= 1 - (p(kurka\ w\ 1\ probie) + p(kurka\ w\ 2\ probie) + p(kurka\ w\ 3\ probie) + p(kurka\ w\ 4\ probie) + p(kurka\ w\ 5\ probie)}\)

To masz na myśli?

[janusz47]

Nie trzeba pisać w próbie, bo wiadomo z postaci rozkładu geometrycznego, że w występuje jajko z kurką w kolejnej próbie.

[victor152]

No dobrze,

bazując na tym co napisałeś tutaj:

co najmniej jednego kogutka tzn. jednego, dwa i więcej ...

Zdarzenie przeciwne

\(\displaystyle{ 1 - p(0)}\) kogutków \(\displaystyle{ = 1 - p(kurka)\cdot p(kurka)\cdot ...}\)- rozkład geometryczny.

Widzę to tak...
\(\displaystyle{ p(0)}\) w zdarzeniu przeciwnym oznacza prawdopodobieństwo, że kogutków jest zero. Aby kogutków było zero, to wszystkie jajka to muszą być kurki. Prawdopodobieństwo wylosowania wszystkich 5 kurek w 5 losowaniach bez zwracania jest rzeczywiście z rozkładu geometrycznego, bo jest to: \(\displaystyle{ \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}\), co jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{1024}}\).

Więc w jaki sposób z tych obliczeń ma wyjść \(\displaystyle{ 0,75}\), które podałeś wcześniej?

Zadanie 3

\(\displaystyle{ n = 5, \ \ p = \frac{3}{4}}\) (bo na cztery wyklucia trzy mamy kogutki i jedną kurkę)

\(\displaystyle{ P(\{X\geq 1\}) = 1 – P(\{X<1\}) = 1 –P(\{X=0\}) = 1- \frac{1}{4} = 0,75.}\)

Odp.: Prawdopodobieństwo, że z pięciu losowo wybranych jajek wykluje się co najmniej jeden kogutek wynosi \(\displaystyle{ 0,75.}\)