Zmienne losowe \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne i mają rozkłady jednostajne na odcinkach \(\displaystyle{ [0,1]}\) oraz \(\displaystyle{ [0,2]}\),odpowiednio. Wyznaczyć gęstość rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ X+Y}\).
Aby to policzyć chciałam wykorzystać wzór na splot funkcji \(\displaystyle{ f_X(x)}\) i \(\displaystyle{ f_Y(y)}\),
\(\displaystyle{ f_{X+Y}(z)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx=\int\limits_{-\infty}^{\infty}1\cdot\pmb{1}_{[0,1]}(x)* \frac{1}{2} \cdot\pmb{1}_{[0,2]}(z-x)dx}\)
i dalej mam duży problem z zastosowaniem tego wzoru, po jakim przedziale powinnam całkować jak połączyć te dwa przedziały itd. Czy ktoś mógłby dość dokładnie rozpisać dalszą cześć rozwiązania, albo choć trochę mi to wyjaśnić byłabym bardzo wdzięczna.
Zmienne losowe niezależne i splot funkcji
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Zmienne losowe niezależne i splot funkcji
\(\displaystyle{ 1 {\hskip -2.5 pt} \hbox{l}_{[0,2]}(z-x)= \begin{cases}1 \text{ gdy }0\le z-x\le 2 \\ 0 \text{ w przeciwnym razie }\end{cases}= \begin{cases}1 \text{ gdy }z-2\le x\le z \\ 0 \text{ w przeciwnym razie }\end{cases}}\)
Tutaj przyda się rysunek. Zaznacz w kartezjańskim układzie współrzędnych proste
\(\displaystyle{ x=0, \ x=1, \ x=z, \ z=x+2}\)
Z rysunku masz, że dla ustalonego \(\displaystyle{ z\in [0,1], \ x}\) zmienia się od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ z}\), dla \(\displaystyle{ z\in (1, 2], \ x}\) zmienia się od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 1}\), zaś dla
\(\displaystyle{ z\in (2,3], \ x}\) zmienia się od \(\displaystyle{ z-2}\) do \(\displaystyle{ 1}\).
Nasza całka przyjmuje więc postać:
\(\displaystyle{ \frac 1 2\left( 1 {\hskip -2.5 pt} \hbox{l}_{[0,1]}(z) \int_{0}^{z}1 \,\dd x+ 1 {\hskip -2.5 pt} \hbox{l}_{(1,2]}(z) \int_{0}^{1}1 \,\dd x+ 1 {\hskip -2.5 pt} \hbox{l}_{(2,3]}(z) \int_{z-2}^{1}1 \,\dd x \right)=\\=\frac 1 2 z 1 {\hskip -2.5 pt} \hbox{l}_{[0,1]}(z)+\frac 1 2 1 {\hskip -2.5 pt} \hbox{l}_{(1,2]}(z)+\frac {3-z} 21 {\hskip -2.5 pt} \hbox{l}_{(2,3]}(z)}\)
i to jest szukana gęstość rozkładu \(\displaystyle{ X+Y}\).
Tutaj przyda się rysunek. Zaznacz w kartezjańskim układzie współrzędnych proste
\(\displaystyle{ x=0, \ x=1, \ x=z, \ z=x+2}\)
Z rysunku masz, że dla ustalonego \(\displaystyle{ z\in [0,1], \ x}\) zmienia się od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ z}\), dla \(\displaystyle{ z\in (1, 2], \ x}\) zmienia się od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 1}\), zaś dla
\(\displaystyle{ z\in (2,3], \ x}\) zmienia się od \(\displaystyle{ z-2}\) do \(\displaystyle{ 1}\).
Nasza całka przyjmuje więc postać:
\(\displaystyle{ \frac 1 2\left( 1 {\hskip -2.5 pt} \hbox{l}_{[0,1]}(z) \int_{0}^{z}1 \,\dd x+ 1 {\hskip -2.5 pt} \hbox{l}_{(1,2]}(z) \int_{0}^{1}1 \,\dd x+ 1 {\hskip -2.5 pt} \hbox{l}_{(2,3]}(z) \int_{z-2}^{1}1 \,\dd x \right)=\\=\frac 1 2 z 1 {\hskip -2.5 pt} \hbox{l}_{[0,1]}(z)+\frac 1 2 1 {\hskip -2.5 pt} \hbox{l}_{(1,2]}(z)+\frac {3-z} 21 {\hskip -2.5 pt} \hbox{l}_{(2,3]}(z)}\)
i to jest szukana gęstość rozkładu \(\displaystyle{ X+Y}\).