Cześć!
Mam taki ogólny problem:
Dana jest funkcja losowa \(\displaystyle{ G(N)}\) przyjmująca wartości całkowite nieujemne, jest niemalejąca i jej dziedzina to zbiór liczb naturalnych.
Pytanie1: Czy prawdą jest to, że \(\displaystyle{ G(N)=O(E[G(N)])}\) ? ; gdzie \(\displaystyle{ E[*]}\) to wartość oczekiwana, a \(\displaystyle{ O(*)}\) to tzw. notacja "duże O".
Jeżeli wyraziłem się zbyt ogólnie to mam taki szczególny przypadek:
Niech \(\displaystyle{ G(N)=( \sum_{k=1}^{N}X _{k}) ^{2}}\) ;gdzie \(\displaystyle{ X _{k}}\) jest zmienną losową przyjmującą wartości : \(\displaystyle{ {-1 \vee 0 \vee +1}}\) i rozdystrybuowaną jednakowo i niezależnie.
Czy odpowiedź na moje pytanie jest wtedy pozytywne?
Dzięki z góry za każdą pomocną odpowiedź.
Asymptotyka i proces losowy.
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Asymptotyka i proces losowy.
Piszesz tak jakby \(\displaystyle{ G}\) była zwykłą funkcją \(\displaystyle{ G : \NN \rightarrow \RR}\), a przecież w Twoim przykładzie tak nie jest.
Jaka jest więc ścisła definicja obiektu, który Cię interesuje?
Chyba, że nie wiem chodzi Ci o coś w stylu
\(\displaystyle{ N}\) jest określone na innej przestrzeni probabilistycznej niż \(\displaystyle{ X_k}\)
i \(\displaystyle{ G}\) idzie z \(\displaystyle{ \NN}\) do przestrzeni zmiennych losowych na jakiejś innej przestrzeni probabilistycznej?
Jak byś wówczas zdefiniował \(\displaystyle{ \EE (G(N))}\)?
Jeśli jest to przypadek to podaj kontekst.
Edit: glupi jestem jest jeszcze opcja, że N nie jest losowe - czy o to chodzi?
-- 29 gru 2018, o 17:37 --
Ok moim zdaniem chodzi Ci o coś takiego:
Mamy proces stochastyczny \(\displaystyle{ G_{n}: n \in \NN}\).
taki, że \(\displaystyle{ G_{n} \ge 0}\) i prawie wszystkie trajektorie procesu są niemalejące.
Czy wówczas prawdą jest, że prawie każda trajektoria jest \(\displaystyle{ O(g_n)}\), gdzie
\(\displaystyle{ g_n := \EE(G_n)}\).
Dobrze myślę?(chociaż Twój przykład się chyba w tę sytuację nie wlicza niestety...)
Gdybyś np. zmienił swój przykłąd na \(\displaystyle{ \sum_{}^{n}X_k^2}\) to odpowiedz na postawione pytanie brzmialaby tak - wynikaloby to z prawa wielkich liczb
Jaka jest więc ścisła definicja obiektu, który Cię interesuje?
Chyba, że nie wiem chodzi Ci o coś w stylu
\(\displaystyle{ N}\) jest określone na innej przestrzeni probabilistycznej niż \(\displaystyle{ X_k}\)
i \(\displaystyle{ G}\) idzie z \(\displaystyle{ \NN}\) do przestrzeni zmiennych losowych na jakiejś innej przestrzeni probabilistycznej?
Jak byś wówczas zdefiniował \(\displaystyle{ \EE (G(N))}\)?
Jeśli jest to przypadek
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/XY_problem
Edit: glupi jestem jest jeszcze opcja, że N nie jest losowe - czy o to chodzi?
-- 29 gru 2018, o 17:37 --
Ok moim zdaniem chodzi Ci o coś takiego:
Mamy proces stochastyczny \(\displaystyle{ G_{n}: n \in \NN}\).
taki, że \(\displaystyle{ G_{n} \ge 0}\) i prawie wszystkie trajektorie procesu są niemalejące.
Czy wówczas prawdą jest, że prawie każda trajektoria jest \(\displaystyle{ O(g_n)}\), gdzie
\(\displaystyle{ g_n := \EE(G_n)}\).
Dobrze myślę?(chociaż Twój przykład się chyba w tę sytuację nie wlicza niestety...)
Gdybyś np. zmienił swój przykłąd na \(\displaystyle{ \sum_{}^{n}X_k^2}\) to odpowiedz na postawione pytanie brzmialaby tak - wynikaloby to z prawa wielkich liczb