Dystrybuanta zmiennej w punkcie, rozkład normalny

[jaodryska]

Cześć, mam jedną małą, oraz dużą wątpliwość. Najpierw mała:

Dwuwymiarowa zmienna losowa \(\displaystyle{ (X,Y)}\), ma rozklad z gestoscia \(\displaystyle{ g(x,y) = \frac{3}{8}x _ { \left\{0<x \le y \le 2x \le 4\right\}}}\). Obliczyc \(\displaystyle{ P(Y \le 1)}\).

Z warunków w nawiasie wyszło mi po prostu, że \(\displaystyle{ 0<x \le 2 \wedge x \le y \le 4}\)

Czy wskazane p-stwo wyznaczam po prostu:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \int_{x}^{1} \frac{3}{8}x \mbox{d}y \mbox{d}x}\), ?
Po zrobieniu w ten sposób wynik wychodzi ujemny, więc raczej nie tędy droga...

Duża wątpliwość:
Zmienne losowe \(\displaystyle{ X,Y}\) sa niezalezne i maja rozklady normalne o sredniej \(\displaystyle{ -1}\) i wariancjach \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\), odpowiednio. Wyznaczyc rozklad zmiennej \(\displaystyle{ Z = 2X - Y + 2}\)

Czy w tym przypadku \(\displaystyle{ \mu = E(Z)}\) oraz \(\displaystyle{ \sigma ^{2} = Var(Z)}\), ?

Oblicz macierz kowariancji zmiennej \(\displaystyle{ (2X - Y + 2, X + Y)}\)
Czyli taką macierz \(\displaystyle{ Q' : Q' = AQ _{x,y}A ^{T}}\), ?
Wtedy \(\displaystyle{ A: A\left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2X - Y + 2\\X + Y\end{array}\right]}\), więc też chyba coś tu nie gra

(ostatnia rzecz) \(\displaystyle{ E((2X - Y + 2) ^{2} + (X + Y) ^{2} | X + Y}\)
z tym w ogóle nie potrafię ruszyć...

Serdecznie proszę o pomoc, oczywiście nawet z jakimś jednym podpunktem.

[janusz47]

Zadanie 1

Gęstość brzegowa zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\)

\(\displaystyle{ g_{Y}(x,y) = \int_{0}^2 \frac{3}{8}x dx = \frac{3}{16}x^2 \left|_{0}^{2}= \frac{12}{16}= \frac{3}{4}.}\)

\(\displaystyle{ Pr(\{Y \leq 1\}) = \int_{0}^{1} \frac{3}{4}dy = \frac{3}{4}x \left|_{0}^{1}= \frac{3}{4}.}\)

Zadanie 2

\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{N}_{X}( -1, 1), \ \ Y \sim \mathcal{N}_{Y}(-1, 2).}\)

\(\displaystyle{ 2X\sim \mathcal{N}_{2X}( -2, 4) \ \ -Y+2 \sim \mathcal{N}_{-Y+2}( 1, 2)}\)

\(\displaystyle{ f_{2X}(x) = \frac{1}{2 \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x +2)^2}{2}}.}\)

\(\displaystyle{ f_{-Y +2}(y) = \frac{1}{2 \sqrt{\pi}} e^{-\frac{( y -1)^2}{4}}.}\)

Zmienne losowe są niezależne więc ich współczynnik korelacji \(\displaystyle{ \rho = 0.}\)

Gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z}\)

\(\displaystyle{ f_{Z}(x,y) = f_{2X}(x)*f_{-Y +2}(y) = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2 \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x +2)^2}{2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\pi}} e^{-\frac{( z - x +1)^2}{4}}dx}\)

Zadanie 3

Rozkład łączny wektora losowego \(\displaystyle{ 2X - Y + 2}\)

\(\displaystyle{ U= f_{2X -Y+2}(x,y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{10}}\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{(x +2)^2}{2} + \frac{(y-1)^2}{4} \right) \right]}\)

Rozkład łączny wektora losowego \(\displaystyle{ X + Y}\)

\(\displaystyle{ V =f_{X +Y}(x,y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{2}}\exp \left[-\frac{1}{2}\left(\frac{(x +1)^2}{1} + \frac{(y+1)^2}{2} \right) \right]}\)

Proszę znaleźć rozkład łączny wektora \(\displaystyle{ ( U, V)}\) i zapisać jego macierz kowariancji, zakładając, że \(\displaystyle{ \rho =0.}\)

[jaodryska]

Przede wszystkim, dziękuję za pomoc. Nie rozumiem chyba jednak, dlaczego \(\displaystyle{ \sigma ^{2}}\) dla \(\displaystyle{ 2X}\), jest równa 5. Dla zmiennej \(\displaystyle{ Y}\), potem \(\displaystyle{ -Y+2}\), \(\displaystyle{ Var}\), czyli też \(\displaystyle{ \sigma ^{2}}\) pozostaje taka sama, więc się zgadza, ale dla \(\displaystyle{ 2X}\)?
Druga sprawa: w jaki sposób nowe gęstości (tj. dla \(\displaystyle{ 2X ; -Y+2}\) zostały zapisane? Nie wiem skąd się one wzięły Próbowałem ze wzoru ogólnego dla rozkładu normalnego, a także z twierdzenia o o przekształceniu zmiennych ale gęstości wychodzą inne.

[janusz47]

Wzory na gęstości wzięły się z ogólnego wzoru na funkcję gęstości rozkładu normalnego. Przesunięcie o dwa nie wpływa na parametry \(\displaystyle{ m, \sigma^2}\) rozkładu normalnego.

[jaodryska]

Przesunięcie o p dwa nie wpływa na parametry \(\displaystyle{ m, \sigma^2}\) rozkładu normalnego.

- to znaczy, że gęstość dla zmiennej \(\displaystyle{ Y}\), jest taka sama co dla \(\displaystyle{ -Y+2}\)?
Gęstość dla \(\displaystyle{ Y}\) wychodzi mi:
mamy \(\displaystyle{ \sigma = \sqrt{2}, \mu = -1 \Rightarrow \ g _{Y}(y) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi }}e ^{ \frac{-(y-\mu) ^{2} }{2\sigma ^{2} } } = \frac{1}{2 \sqrt{ \pi }}e ^{ \frac{-(y+1) ^{2} }{4} }}\)
\(\displaystyle{ \\}\)
Jeżeli prawdą jest to co napisałem wyżej to coś tu nie gra

[janusz47]

Dobrze masz. Ja nie włączyłem \(\displaystyle{ 2\pi}\) pod pierwiastek.

[jaodryska]

Wydaje mi się, że powinno być zatem:
\(\displaystyle{ \\ f _{2X}(x) = \frac{1}{2 \sqrt{2 \pi } }e ^{ \frac{-(x+2) ^{2} }{8} }}\), bo w mianowniku w wykładniku potęgi jeszcze \(\displaystyle{ \times \sigma ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \\
f _{-Y+2}(y) = \frac{1}{2 \sqrt{ \pi } }e ^{ \frac{-(y-3) ^{2} }{4} }}\), tutaj z kolei \(\displaystyle{ \mu}\) wychodzi chyba \(\displaystyle{ 3}\)
\(\displaystyle{ \\}\)
Wobec tego gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z}\) = \(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty }g _{2X}(x-y)g _{-Y+2}(y) \mbox{d}y = \\
= \int_{- \infty }^{ \infty } \frac{1}{2 \sqrt{2 \pi } } e ^{ \frac{-(x-y+2) ^{2}} {8} } \frac{1}{2 \sqrt{ \pi } }e ^{ \frac{-(y-3) ^{2} }{4} } \mbox{d}y = \frac{1}{4 \sqrt{2} \pi } \int_{- \infty }^{ \infty }e ^{ \frac{-(x-y+2) ^{2} - 2(y-3) ^{2} }{8} } \mbox{d}y}\)
\(\displaystyle{ \\}\)
co według mnie jest dość trudne do obliczenia, ale od poprawnego wyniku ważniejszy jest poprawny sposób rozumowania.
\(\displaystyle{ \\}\)
PS Nie wiem tylko, czy nie namąciłem czegoś we wzorze na splot funkcji gęstości

[janusz47]

Łatwiejszy będzie splot względem zmiennej \(\displaystyle{ x.}\)

[jaodryska]

Odnośnie zad 3:
\(\displaystyle{ \\}\)
Szukam \(\displaystyle{ f(2X-Y+2,X+Y) = f(X',Y')}\), gdzie \(\displaystyle{ \sigma _{X'}= \sqrt{Var(2X-Y+2)} = \sqrt{6} , Cov(X,Y) = 0}\),
\(\displaystyle{ \\ \sigma _{y} = \sqrt{Var(X+Y)} = \sqrt{3}}\) , \(\displaystyle{ p = 0}\), zatem:
\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ f(X',Y')= \frac{1}{6 \sqrt{ \pi } }exp ( { \frac{-1}{2}[ \frac{(x-1) ^{2} }{6} + \frac{(y+2) ^{2}}{3}] } )}\)
\(\displaystyle{ \\}\)
Teraz macierz kowariancji \(\displaystyle{ Q = A ^{-1}}\), gdzie
1)\(\displaystyle{ \\ \sqrt{detA} = \sqrt{a _{11}a _{22} - a _{21} ^{2} }}\), u mnie to się równa 1 (licznik w ułamku w funkcji gęstości, przed exp)
2) \(\displaystyle{ a _{11}(x-1) ^{2} = \frac{(x-1) ^{2} }{6} \Rightarrow a _{11} = \frac{1}{6} \\ a _{22}(y+2) ^{2} = \frac{(y+2) ^{2} }{3} \Rightarrow a _{22} = \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ \\}\)
Z powyższych warunków nie da się jednak otrzymać poprawnych wyrazów \(\displaystyle{ a}\) macierzy \(\displaystyle{ Q = A ^{-1}}\), co zatem robię źle?

[janusz47]

Wprowadzamy zmienne \(\displaystyle{ u = 2x - y +2, \ \ v =x+y}\)

Wyznaczamy \(\displaystyle{ x(u,v), \ \ y(u,v).}\)

Sprawdzamy czy Jakobian \(\displaystyle{ J(u,v)}\) jest różny od zera.

Podstawiamy \(\displaystyle{ x(u, v), \ \ y(u,v)}\) do wzoru na funkcję gęstości.

Znajdujemy macierz kowariancji.

[jaodryska]

Ok, wynik trochę inny, aczkolwiek nadal niepoprawny...
Mamy:
\(\displaystyle{ u = 2x - y +2, \ v = x+y \Rightarrow 2x = u + v - x - 2 \Rightarrow x = \frac{1}{3}u + \frac{1}{3}v - \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ y = 2v - 2y + 2 - u \Rightarrow y = \frac{2}{3}v + \frac{2}{3} - \frac{1}{3}u}\)
\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \sigma _{x} = \sqrt{Var( \frac{1}{3}u + \frac{1}{3}v - \frac{2}{3}) } = \sqrt{ \frac{1}{9}Var(2x-y+2) + \frac{1}{9}Var(x+y) }}\) (bo \(\displaystyle{ Cov(u,v) = 0}\)) \(\displaystyle{ = 1}\)
\(\displaystyle{ \sigma _{y} = \sqrt{Var( \frac{2}{3}v + \frac{2}{3} - \frac{1}{3}u) } = \sqrt{ \frac{4}{9} Var(x+y) + \frac{1}{9}Var(2x - y +2) }}\) ( bo \(\displaystyle{ Cov( \frac{2}{3}v, \frac{-1}{3}u ) = 0}\)) \(\displaystyle{ = 2}\)
\(\displaystyle{ \\}\)
Zatem mamy gęstość:
\(\displaystyle{ g(x(u,v),y(u,v)) = \frac{1}{2 \sqrt{ \pi } }exp(- \frac{1}{2}[ \frac{(x+1) ^{2} }{1} + \frac{(y+1) ^{2} }{2}])}\)
\(\displaystyle{ \\}\)
Macierz kowariancji \(\displaystyle{ Q = A ^{-1}: \ \sqrt{a _{11}a _{22} - a _{21} ^{2} } = 1 \ \wedge \ a _{11} = 1 \ \wedge \ a _{22} = \frac{1}{2} \ \Rightarrow \frac{1}{2} - 1 = a _{21} ^{2} \ \Rightarrow}\) sprzeczność

[janusz47]

Musi być dobry.

[jaodryska]

OK! Możliwie, że po prostu w trakcie obliczeń gdzieś popełniono błąd.
Ostatnia rzecz, która mnie głowi to \(\displaystyle{ E((2X-Y+2) ^{2} + (X+Y) ^{2} | X+Y)}\)
\(\displaystyle{ \\}\)
Wszystko rozpisałem i problem sprowadza się do:
\(\displaystyle{ E(X|X+Y) , E(Y|X+Y)}\), nie wiem jak to obliczyć...

[janusz47]

Jeśli \(\displaystyle{ X, Y}\) są całkowalnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie, to

\(\displaystyle{ E(X|X+Y) = E(Y|X+Y) = \frac{X+Y}{2}.}\)

[jaodryska]

WIELKIE DZIĘKI ZA CAŁĄ POMOC!