Czy to błąd w książce? Prawdopodobieństwo całkowite.

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
mastee_d
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 27 lut 2018, o 19:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 13 razy

Czy to błąd w książce? Prawdopodobieństwo całkowite.

Post autor: mastee_d »

Mam takie zadanie:
W urnie znajduje się \(\displaystyle{ 5}\) kul; \(\displaystyle{ 3}\) z nich są czarne, a \(\displaystyle{ 2}\) białe. Losujemy z urny kulę, zwracamy ją do urny i dosypujemy jeszcze dwie kule tego samego koloru. Następnie losujemy kulę z urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za drugim razem wylosujemy kulę czarną?
Moją odpowiedzią jest \(\displaystyle{ \frac{21}{35}}\), natomiast odpowiedzią w zbiorze jest: \(\displaystyle{ \frac{23}{35}}\) Kto ma rację? Ja czy książka?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Czy to błąd w książce? Prawdopodobieństwo całkowite.

Post autor: janusz47 »

Pokaż jak rozwiązujesz to zadanie.
mastee_d
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 27 lut 2018, o 19:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 13 razy

Re: Czy to błąd w książce? Prawdopodobieństwo całkowite.

Post autor: mastee_d »

Niech \(\displaystyle{ A}\)-zdarzenie, że za drugim razem wylosujemy kulę czarną. \(\displaystyle{ B_{1}}\)-zdarzenie, że za pierwszym razem wylosowano białą kulę, \(\displaystyle{ B_{2}}\)-zdarzenie, że za pierwszym razem wylosowano czarną kulę.
Wtedy \(\displaystyle{ P(B_{1})=\frac{2}{5}, P(B_{2})=\frac{3}{5}}\).
Mamy wtedy \(\displaystyle{ P(A|B_{1})=\frac{3}{7}}\) bo będziemy mieli 3 kule czarne oraz 4 kule białe
oraz \(\displaystyle{ P(A|B_{2})=\frac{5}{7}}\) bo będziemy mieli 5 kul czarnych oraz 2 kule białe.
I teraz ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite:
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{5}+\frac{5}{7} \cdot \frac{3}{5} =\frac{21}{35}=\frac{3}{5}}\)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Czy to błąd w książce? Prawdopodobieństwo całkowite.

Post autor: janusz47 »

Masz rację błąd jest w książce.

Potrafisz zinterpretować wynik \(\displaystyle{ Pr(A) =\frac{3}{5}=0,6?}\)
mastee_d
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 27 lut 2018, o 19:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 13 razy

Re: Czy to błąd w książce? Prawdopodobieństwo całkowite.

Post autor: mastee_d »

Oprócz oczywistego skorzystania z definicji prawdopodobieństwa nie wiem w dokładnie jaki sposób powinienem umieć zinterpretować ten wynik.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Czy to błąd w książce? Prawdopodobieństwo całkowite.

Post autor: janusz47 »

Wykonując dwu etapowe doświadczenie losowe polegające na:

-losowaniu jednej kuli z urny, zawierającej początkowo dwie kule białe i trzy kule czarne i jej zwróceniu do urny - etap pierwszy

- dosypaniu do urny dwóch kul w tym samym kolorze co wylosowana kula w etapie pierwszym i drugim losowaniu kuli z urny - etap drugi,

należy oczekiwać, że w \(\displaystyle{ 60\%}\) ogólnej liczby losowań - wylosujemy za drugim razem kulę czarną.
ODPOWIEDZ