Mam takie zadanie:
W urnie znajduje się \(\displaystyle{ 5}\) kul; \(\displaystyle{ 3}\) z nich są czarne, a \(\displaystyle{ 2}\) białe. Losujemy z urny kulę, zwracamy ją do urny i dosypujemy jeszcze dwie kule tego samego koloru. Następnie losujemy kulę z urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za drugim razem wylosujemy kulę czarną?
Moją odpowiedzią jest \(\displaystyle{ \frac{21}{35}}\), natomiast odpowiedzią w zbiorze jest: \(\displaystyle{ \frac{23}{35}}\) Kto ma rację? Ja czy książka?
Czy to błąd w książce? Prawdopodobieństwo całkowite.
-
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 27 lut 2018, o 19:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 13 razy
Re: Czy to błąd w książce? Prawdopodobieństwo całkowite.
Niech \(\displaystyle{ A}\)-zdarzenie, że za drugim razem wylosujemy kulę czarną. \(\displaystyle{ B_{1}}\)-zdarzenie, że za pierwszym razem wylosowano białą kulę, \(\displaystyle{ B_{2}}\)-zdarzenie, że za pierwszym razem wylosowano czarną kulę.
Wtedy \(\displaystyle{ P(B_{1})=\frac{2}{5}, P(B_{2})=\frac{3}{5}}\).
Mamy wtedy \(\displaystyle{ P(A|B_{1})=\frac{3}{7}}\) bo będziemy mieli 3 kule czarne oraz 4 kule białe
oraz \(\displaystyle{ P(A|B_{2})=\frac{5}{7}}\) bo będziemy mieli 5 kul czarnych oraz 2 kule białe.
I teraz ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite:
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{5}+\frac{5}{7} \cdot \frac{3}{5} =\frac{21}{35}=\frac{3}{5}}\)
Wtedy \(\displaystyle{ P(B_{1})=\frac{2}{5}, P(B_{2})=\frac{3}{5}}\).
Mamy wtedy \(\displaystyle{ P(A|B_{1})=\frac{3}{7}}\) bo będziemy mieli 3 kule czarne oraz 4 kule białe
oraz \(\displaystyle{ P(A|B_{2})=\frac{5}{7}}\) bo będziemy mieli 5 kul czarnych oraz 2 kule białe.
I teraz ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite:
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{5}+\frac{5}{7} \cdot \frac{3}{5} =\frac{21}{35}=\frac{3}{5}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 27 lut 2018, o 19:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 13 razy
Re: Czy to błąd w książce? Prawdopodobieństwo całkowite.
Oprócz oczywistego skorzystania z definicji prawdopodobieństwa nie wiem w dokładnie jaki sposób powinienem umieć zinterpretować ten wynik.
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Czy to błąd w książce? Prawdopodobieństwo całkowite.
Wykonując dwu etapowe doświadczenie losowe polegające na:
-losowaniu jednej kuli z urny, zawierającej początkowo dwie kule białe i trzy kule czarne i jej zwróceniu do urny - etap pierwszy
- dosypaniu do urny dwóch kul w tym samym kolorze co wylosowana kula w etapie pierwszym i drugim losowaniu kuli z urny - etap drugi,
należy oczekiwać, że w \(\displaystyle{ 60\%}\) ogólnej liczby losowań - wylosujemy za drugim razem kulę czarną.
-losowaniu jednej kuli z urny, zawierającej początkowo dwie kule białe i trzy kule czarne i jej zwróceniu do urny - etap pierwszy
- dosypaniu do urny dwóch kul w tym samym kolorze co wylosowana kula w etapie pierwszym i drugim losowaniu kuli z urny - etap drugi,
należy oczekiwać, że w \(\displaystyle{ 60\%}\) ogólnej liczby losowań - wylosujemy za drugim razem kulę czarną.