Proces Poissona

[ValarMorghulis]

Witam. Mam problem z pewnym zadaniem z procesów stochastycznych: Niech \(\displaystyle{ \left\{ N(t):t \ge 0\right\}}\) będzie procesem Poissona z intensywnością \(\displaystyle{ \lambda =1}\). Obliczyć prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(N(1) \le 1, N(2) \le 2, N(3) \le 3)}\).
Rozpisałem to prawdopodobieństwo na
\(\displaystyle{ P(N(1) = 0 \vee N(1) = 1, N(2) = 0 \vee N(2) = 1 \vee N(2) =2 , N(3) = 0 \vee N(3) = 1 \vee N(3) =2 \vee N(3) = 3)}\).
Liczyć to po kolei, czy da się to zapisać w postaci jakiejś fajnej sumy. Z góry dziękuje za pomoc

[janusz47]

\(\displaystyle{ Pr(\{N(t) \leq n\}) = \sum_{j=0}^{n}e^{-\lambda t}\frac{\lambda tj}{j!}.}\)